Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (3, pi, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de mudança de coordenadas de cilíndricas para esféricas. O enunciado nos dá um ponto nas coordenadas cilíndricas: . Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que conectam esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas e esféricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos três valores: r (a distância do ponto ao eixo z), theta (o ângulo no plano xy) e z (a altura). Já nas coordenadas esféricas, usamos rho (a distância do ponto à origem), phi (o ângulo com o eixo z) e theta (o mesmo ângulo do plano xy).

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular rho, que é a distância do ponto à origem. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo phi, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. A fórmula para phi é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, o ângulo theta nas coordenadas esféricas é o mesmo que nas coordenadas cilíndricas, então não precisamos alterá-lo. Assim, .

Resposta

As coordenadas esféricas correspondentes são:

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