Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de mudança de coordenadas de cilíndricas para esféricas. O enunciado nos dá um ponto nas coordenadas cilíndricas:
. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que conectam esses dois sistemas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas e esféricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos três valores:
(a distância do ponto ao eixo z),
(o ângulo no plano xy) e
(a altura). Já nas coordenadas esféricas, usamos
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo com o eixo z) e
(o mesmo ângulo do plano xy).
Passo 3
A primeira coisa que vamos fazer é calcular
, que é a distância do ponto à origem. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo
, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. A fórmula para
é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, o ângulo
nas coordenadas esféricas é o mesmo que nas coordenadas cilíndricas, então não precisamos alterá-lo. Assim,
.
Resposta
As coordenadas esféricas correspondentes são: