Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede duas coisas: (1) esboçar a curva no plano cartesiano; (2) determinar a equação cartesiana correspondente.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A variável parâmetro
varia no intervalo . -
é uma função trigonométrica de (coseno) com amplitude . -
cresce linearmente com (proporcional a por fator ).
Passo 2
Método para eliminar o parâmetro (transformar em equação cartesiana): isolar
em uma das equações e substituir na outra. A equação
é simples de inverter porque é linear em
. Assim:
Agora substitui-se esse
em
. Fazendo a substituição obtemos a relação entre
e
:
Essa é a equação cartesiana que liga
e
. É importante lembrar de transportar a restrição de
para
: como
temos
Portanto a equação cartesiana válida é
Passo 3
Interpretação e domínio/contradomínio (ajuda a esboçar):
- O coseno varia em
. Então
- Como já vimos,
- A função cartesiana pode ser vista como
dado em função de : para cada no intervalo há um único . Assim a curva é o gráfico de uma função , não de .
Passo 4
Pontos-chave (úteis para o esboço). Calcular
em alguns valores de
fáceis:
Esses pontos mostram claramente uma oscilação completa do coseno conforme
aumenta de
a
.
Passo 5
Como esboçar a curva (passo a passo prático para a prova):
- Faça um eixo vertical para
e um eixo horizontal para . Marque na vertical e na horizontal. - Marque os pontos calculados:
, , , , . - Ligue esses pontos por uma curva suave que segue o formato do coseno ao longo de
: quando aumenta, sai de em , passa por em , chega a em , volta a em e termina em em . - Coloque uma seta indicando a orientação da curva no sentido de
crescente (de baixo para cima, pois aumenta com ).
Comentário sobre o formato: é uma única oscilação completa do coseno “deitada” horizontalmente enquanto sobe em
. Não há auto-interseção porque cada
dá um
diferente (a função
é injetora), então pontos com mesmo
ocorrem em alturas distintas.
Passo 6
Observações finais didáticas (o que lembrar para a prova):
- Para eliminar parâmetro, prefira isolar
numa equação simples (aqui ) e substituir. - Sempre transfira a restrição do parâmetro para a(s) variável(is) resultante(s) (aqui obtemos
). - Se a substituição resultar numa relação trigonométrica com argumento em
, verifique período e amplitude para esboçar corretamente. Neste caso o argumento é , então a função tem período em igual a (porque em corresponde a ).
Resposta
Esboço: curva que começa em