Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=3 \cos t, \quad y=2 t, \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=3\cos t,\qquad y=2t,\qquad t\in[0,2\pi],
e pede duas coisas: (1) esboçar a curva no plano cartesiano; (2) determinar a equação cartesiana correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • A variável parâmetro t varia no intervalo [0,2\pi].
  • x é uma função trigonométrica de t (coseno) com amplitude 3.
  • y cresce linearmente com t (proporcional a t por fator 2).

Passo 2

Método para eliminar o parâmetro (transformar em equação cartesiana): isolar t em uma das equações e substituir na outra. A equação y=2t é simples de inverter porque é linear em t. Assim:
t=\frac{y}{2}.
Agora substitui-se esse t em x=3\cos t. Fazendo a substituição obtemos a relação entre x e y:
x=3\cos\!\left(\frac{y}{2}\right).
Essa é a equação cartesiana que liga x e y. É importante lembrar de transportar a restrição de t para y: como t\in[0,2\pi] temos
y=2t\in[0,4\pi].
Portanto a equação cartesiana válida é
x=3\cos\!\left(\frac{y}{2}\right),\qquad 0\le y\le 4\pi.

Passo 3

Interpretação e domínio/contradomínio (ajuda a esboçar):
  • O coseno varia em [-1,1]. Então
x\in[-3,3].
  • Como já vimos,
y\in[0,4\pi].
  • A função cartesiana pode ser vista como x dado em função de y: para cada y no intervalo há um único x. Assim a curva é o gráfico de uma função x(y), não de y(x).

Passo 4

Pontos-chave (úteis para o esboço). Calcular (x,y) em alguns valores de t fáceis:
\begin{aligned} t&=0: & x&=3\cos 0=3, & y&=0 \quad\Rightarrow\quad (3,0).\\\ t&=\tfrac{\pi}{2}: & x&=3\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, & y&=\pi \quad\Rightarrow\quad (0,\pi).\\\ t&=\pi: & x&=3\cos\pi=-3, & y&=2\pi \quad\Rightarrow\quad (-3,2\pi).\\\ t&=\tfrac{3\pi}{2}: & x&=3\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0, & y&=3\pi \quad\Rightarrow\quad (0,3\pi).\\\ t&=2\pi: & x&=3\cos(2\pi)=3, & y&=4\pi \quad\Rightarrow\quad (3,4\pi). \end{aligned}
Esses pontos mostram claramente uma oscilação completa do coseno conforme y aumenta de 0 a 4\pi.

Passo 5

Como esboçar a curva (passo a passo prático para a prova):
  1. Faça um eixo vertical para y e um eixo horizontal para x. Marque y=0,\\ \pi,\\\ 2\pi,\\\ 3\pi,\\\ 4\pi na vertical e x=-3,0,3 na horizontal.
  2. Marque os pontos calculados: (3,0), (0,\pi), (-3,2\pi), (0,3\pi), (3,4\pi).
  3. Ligue esses pontos por uma curva suave que segue o formato do coseno ao longo de y: quando y aumenta, x sai de 3 em y=0, passa por 0 em y=\pi, chega a -3 em y=2\pi, volta a 0 em y=3\pi e termina em 3 em y=4\pi.
  4. Coloque uma seta indicando a orientação da curva no sentido de t crescente (de baixo para cima, pois y=2t aumenta com t).
Comentário sobre o formato: é uma única oscilação completa do coseno “deitada” horizontalmente enquanto sobe em y. Não há auto-interseção porque cada t dá um y diferente (a função y(t)=2t é injetora), então pontos com mesmo x ocorrem em alturas distintas.

Passo 6

Observações finais didáticas (o que lembrar para a prova):
  • Para eliminar parâmetro, prefira isolar t numa equação simples (aqui y=2t) e substituir.
  • Sempre transfira a restrição do parâmetro para a(s) variável(is) resultante(s) (aqui obtemos 0\le y\le4\pi).
  • Se a substituição resultar numa relação trigonométrica com argumento em y, verifique período e amplitude para esboçar corretamente. Neste caso o argumento é \dfrac{y}{2}, então a função tem período em y igual a 4\pi (porque 2\pi em \dfrac{y}{2} corresponde a y=4\pi).

Resposta

x=3\cos\!\left(\dfrac{y}{2}\right),\qquad 0\le y\le 4\pi.
Esboço: curva que começa em (3,0), passa por (0,\pi), (-3,2\pi), (0,3\pi) e termina em (3,4\pi); é uma oscilação completa do coseno em x ao longo de y, com direção de baixo para cima ( t crescente).

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