Questão 3

Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}=y^{2}-3 y+2, \quad y(0)=y_{0}
Sem resolver a equação, faça um esboço qualitativo das soluções para
y_{0}=3, \quad y_{0}=1.8, \quad y_{0}=1.3, \quad y_{0}=0.5, \quad y_{0}=-1
levando em conta as concavidades.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = y^{2}-3y+2,\qquad y(0)=y_{0},
e pede um esboço qualitativo das soluções para os seguintes valores iniciais:
y_{0}=3,\quad y_{0}=1,8,\quad y_{0}=1,3,\quad y_{0}=0,5,\quad y_{0}=-1.
O pedido é: para cada y_{0} descrever qualitativamente (sem resolver a EDO explicitamente) a direção (cresce/decresce), para onde a solução tende quando t\to+\infty (se tende a um equilíbrio ou diverge), e a concavidade da curva y(t) (côncava para cima ou para baixo) ao longo do caminho. Nada mais será pedido além disso.

Passo 2

Transformar a EDO num formato útil para análise qualitativa. Defina a função do lado direito:
f(y)=y^{2}-3y+2.
Esta é uma EDO autônoma (a derivada depende só de y, não de t). Em EDOs autônomas as soluções seguem um “campo de direções” vertical no plano (t,y) que depende apenas do valor de y. Dois conceitos-chave que vamos usar:
  • Pontos de equilíbrio (ou estados estacionários) são os y tais que f(y)=0. Se y(t) começa exatamente em um equilíbrio, ele fica constante.
  • O sinal de f(y) determina se uma solução em um dado nível y está subindo ( f(y)>0) ou descendo ( f(y)<0). Para concavidade usamos a segunda derivada y''.
Agora factorize f(y) para achar os equilíbrios:
f(y)=y^{2}-3y+2=(y-1)(y-2).
Logo os pontos de equilíbrio são \,y=1 e \,y=2.

Passo 3

Classificar a direção do movimento (linha de fase simples). Para cada intervalo entre os pontos críticos, determina-se o sinal de f(y).
  • Se y<1: então y-1<0 e y-2<0, logo (y-1)(y-2)>0. Portanto f(y)>0 quando y<1: soluções aumentam.
  • Se 1<y<2: então y-1>0 e y-2<0, logo f(y)<0: soluções diminuem.
  • Se y>2: então y-1>0 e y-2>0, logo f(y)>0: soluções aumentam.
Interpretação de estabilidade dos equilíbrios (um jeito rápido):
  • Em y=1: à esquerda f>0 (empurra para a direita), à direita f<0 (empurra para a esquerda). Ambos lados dirigem as soluções para y=1 y=1 é um equilíbrio estável (atrator).
  • Em y=2: à esquerda f<0 e à direita f>0, os de ambos os lados são empurrados para longe de 2 y=2 é instável (repulsor).
Também é útil calcular a derivada de f em equilíbrios para confirmar:
f'(y)=2y-3,\qquad f'(1)=-1<0\\ (\text{estável}),\qquad f'(2)=1>0\\ (\text{instável}).áá

Passo 4

Analisar concavidade: calcular a segunda derivada em termos de y. Diferenciando y'=f(y) em relação a t obtemos
y''=\frac{d}{dt}y' = f'(y)\,y' = f'(y)\,f(y).
Substituindo f e f':
y''=(2y-3)(y-1)(y-2).
A concavidade (côncava para cima se y''>0, para baixo se y''<0) depende apenas do sinal desse produto. As raízes são y=1,\;y=\tfrac{3}{2} (isto é \,1,5) e y=2. Faça uma tabela de sinais em cada intervalo:
  • Para y<1: sinais (2y-3)<0,\\ (y-1)<0,\\ (y-2)<0 → produto <0. Assim y''<0 (côncava para baixo).
  • Para 1<y<1{,}5: sinais (2y-3)<0,\\ (y-1)>0,\\ (y-2)<0 → produto >0. Assim y''>0 (côncava para cima).
  • Para 1{,}5<y<2: sinais (2y-3)>0,\\ (y-1)>0,\\ (y-2)<0 → produto <0. Assim y''<0 (côncava para baixo).
  • Para y>2: sinais (2y-3)>0,\\ (y-1)>0,\\ (y-2)>0 → produto >0. Assim y''>0 (côncava para cima).
Resumo prático das regiões:
  • y<1 : aumenta ( y'>0), côncava para baixo ( y''<0), tende para y=1 quando t\to+\infty.
  • 1<y<1{,}5 : diminui ( y'<0), côncava para cima ( y''>0), tende para y=1.
  • 1{,}5<y<2 : diminui ( y'<0), côncava para baixo ( y''<0), tende para y=1.
  • y>2 : aumenta ( y'>0), côncava para cima ( y''>0), afasta-se de y=2 e cresce sem limite (com tendência a explosão porque para y grande a EDO se comporta como y'\approx y^{2}).

Passo 5

Aplicar as conclusões acima a cada condição inicial pedida e descrever o esboço qualitativo (direção, concavidade e destino):
  • Para \,y_{0}=3: está em y>2. Assim y'>0 (a solução cresce) e y''>0 (côncava para cima). Como y=2 é repulsor, a solução se afasta de 2 e cresce sem limite para +\infty; para equações com crescimento quadrático isso normalmente significa que a solução diverge em tempo finito (explosão), ou pelo menos cresce aceleradamente.
  • Para \,y_{0}=1,8: está em 1{,}5<y<2. Assim y'<0 (a solução decresce) e y''<0 (côncava para baixo). A trajetória decresce em direção ao equilíbrio estável y=1 quando t\to+\infty, aproximando-se assintoticamente de cima.
  • Para \,y_{0}=1,3: está em 1<y<1{,}5. Assim y'<0 (decresce) e y''>0 (côncava para cima). A solução decresce em direção a y=1, aproximando-se assintoticamente de cima, mas com curvatura para cima enquanto se aproxima.
  • Para \,y_{0}=0,5: está em y<1. Assim y'>0 (a solução cresce) e y''<0 (côncava para baixo). A solução cresce e tende para y=1 quando t\to+\infty, aproximando-se de baixo com curvatura para baixo.
  • Para \,y_{0}=-1: também está em y<1. Mesmo comportamento de \,y_{0}=0,5: y'>0 (cresce), y''<0 (côncava para baixo) e tende para y=1 quando t\to+\infty.
Ao fazer o esboço em papel: desenhe a linha horizontal do tempo t e trace curvas que
  • a partir de valores abaixo de 1 sobem ondulando para cima mas com curvatura para baixo,
  • a partir de 1{,}3 e 1{,}8 diminuem em direções diferentes de curvatura conforme indicado,
  • a partir de 3 sobe rapidamente e cada vez mais íngreme (convexa), afastando-se de 2.

Resposta

y_{0}=3: cresce ( y'>0), côncava para cima ( y''>0), afasta-se de y=2 e diverge para +\infty (explosão/crecimento acelerado).
y_{0}=1,8: decresce ( y'<0), côncava para baixo ( y''<0), tende assintoticamente para y=1.
y_{0}=1,3: decresce ( y'<0), côncava para cima ( y''>0), tende assintoticamente para y=1.
y_{0}=0,5: cresce ( y'>0), côncava para baixo ( y''<0), tende assintoticamente para y=1.
y_{0}=-1: cresce ( y'>0), côncava para baixo ( y''<0), tende assintoticamente para y=1.

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