Questão 3
Considere o problema de valor inicial
Sem resolver a equação, faça um esboço qualitativo das soluções para
levando em conta as concavidades.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede um esboço qualitativo das soluções para os seguintes valores iniciais:
O pedido é: para cada
descrever qualitativamente (sem resolver a EDO explicitamente) a direção (cresce/decresce), para onde a solução tende quando
(se tende a um equilíbrio ou diverge), e a concavidade da curva
(côncava para cima ou para baixo) ao longo do caminho. Nada mais será pedido além disso.
Passo 2
Transformar a EDO num formato útil para análise qualitativa. Defina a função do lado direito:
Esta é uma EDO autônoma (a derivada depende só de
, não de
). Em EDOs autônomas as soluções seguem um “campo de direções” vertical no plano
que depende apenas do valor de
. Dois conceitos-chave que vamos usar:
- Pontos de equilíbrio (ou estados estacionários) são os
tais que . Se começa exatamente em um equilíbrio, ele fica constante. - O sinal de
determina se uma solução em um dado nível está subindo ( ) ou descendo ( ). Para concavidade usamos a segunda derivada .
Agora factorize
para achar os equilíbrios:
Logo os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 3
Classificar a direção do movimento (linha de fase simples). Para cada intervalo entre os pontos críticos, determina-se o sinal de
.
- Se
: então e , logo . Portanto quando : soluções aumentam. - Se
: então e , logo : soluções diminuem. - Se
: então e , logo : soluções aumentam.
Interpretação de estabilidade dos equilíbrios (um jeito rápido):
- Em
: à esquerda (empurra para a direita), à direita (empurra para a esquerda). Ambos lados dirigem as soluções para → é um equilíbrio estável (atrator). - Em
: à esquerda e à direita , os de ambos os lados são empurrados para longe de → é instável (repulsor).
Também é útil calcular a derivada de
em equilíbrios para confirmar:
Passo 4
Analisar concavidade: calcular a segunda derivada em termos de
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Substituindo
e
:
A concavidade (côncava para cima se
, para baixo se
) depende apenas do sinal desse produto. As raízes são
(isto é
) e
. Faça uma tabela de sinais em cada intervalo:
- Para
: sinais → produto . Assim (côncava para baixo). - Para
: sinais → produto . Assim (côncava para cima). - Para
: sinais → produto . Assim (côncava para baixo). - Para
: sinais → produto . Assim (côncava para cima).
Resumo prático das regiões:
-
: aumenta ( ), côncava para baixo ( ), tende para quando . -
: diminui ( ), côncava para cima ( ), tende para . -
: diminui ( ), côncava para baixo ( ), tende para . -
: aumenta ( ), côncava para cima ( ), afasta-se de e cresce sem limite (com tendência a explosão porque para grande a EDO se comporta como ).
Passo 5
Aplicar as conclusões acima a cada condição inicial pedida e descrever o esboço qualitativo (direção, concavidade e destino):
-
Para
: está em . Assim (a solução cresce) e (côncava para cima). Como é repulsor, a solução se afasta de e cresce sem limite para ; para equações com crescimento quadrático isso normalmente significa que a solução diverge em tempo finito (explosão), ou pelo menos cresce aceleradamente. -
Para
: está em . Assim (a solução decresce) e (côncava para baixo). A trajetória decresce em direção ao equilíbrio estável quando , aproximando-se assintoticamente de cima. -
Para
: está em . Assim (decresce) e (côncava para cima). A solução decresce em direção a , aproximando-se assintoticamente de cima, mas com curvatura para cima enquanto se aproxima. -
Para
: está em . Assim (a solução cresce) e (côncava para baixo). A solução cresce e tende para quando , aproximando-se de baixo com curvatura para baixo. -
Para
: também está em . Mesmo comportamento de : (cresce), (côncava para baixo) e tende para quando .
Ao fazer o esboço em papel: desenhe a linha horizontal do tempo
e trace curvas que
- a partir de valores abaixo de
sobem ondulando para cima mas com curvatura para baixo, - a partir de
e diminuem em direções diferentes de curvatura conforme indicado, - a partir de
sobe rapidamente e cada vez mais íngreme (convexa), afastando-se de .