Questão 2
Considere a equação diferencial
(a) Encontre a solução geral da equação.
□
(b) Encontre a curva solução tal que
.
□
(b) Encontre a curva solução tal que
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que pede:
- (a) Encontrar a solução geral da equação (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
- (b) Encontrar a curva solução que satisfaz a condição inicial
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem escrita como
com - A equação está escrita de forma que possivelmente é exata; isso é algo que devemos verificar.
Passo 2
Entendendo o que é uma equação exata (aula curta): uma equação da forma
é exata em uma região quando existe uma função potencial
tal que
Critério prático (para funções com derivadas contínuas): a equação é exata se
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calcular
. Começando de
derivando em relação a
(tratando
como constante):
Agora calcular
. Começando de
derivando em relação a
(tratando
como constante):
Como os dois resultados coincidem, temos
logo a equação é exata (na região considerada onde as derivadas existem). Portanto existe uma função potencial
com
e
.
Passo 4
Como
, podemos encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante. Faço a integral termo a termo:
- Para
: como é constante em relação a , o resultado é . - Para
: é constante em , então .
Somando os termos e lembrando de adicionar uma função arbitrária de
(pois a integração em
pode perder termos que dependem só de
), obtemos
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora usamos a outra condição
para achar
. Primeiro calculo
a partir da expressão obtida:
Devemos ter
. Igualando:
Daí segue imediatamente que
Integrando
em relação a
dá
, com
constante real.
Passo 6
Substituindo
na expressão da função potencial, a solução implícita geral (família de curvas) é
onde
é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial no formato implícito.
Observação didática: muitas equações exatas resultam em soluções implícitas
. Se for necessário, em alguns casos é possível isolar
explicitamente, mas aqui não é trivial isolá-la em termos elementares, e não é exigido.
Passo 7
Agora aplico a condição inicial para obter a curva particular pedida em (b). A condição é
. Substituo
e
na solução geral para determinar
:
Calculo os termos (mantendo em notação simbólica):
logo
Portanto a curva solução que satisfaz
é dada implicitamente por
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para me deixar mais confiante): diferenciando implicitamente a solução geral
obtemos
ou seja
que é exatamente a forma original
. Isso confirma consistência da solução encontrada.
Resposta
(a)
, onde
é constante.
(b)
.