Questão 2

Considere a equação diferencial
\left(e^{x} \sin y-2 y \sin x\right) d x+\left(e^{x} \cos y+2 \cos x\right) d y=0
(a) Encontre a solução geral da equação.

(b) Encontre a curva solução tal que y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(e^{x} \sin y-2 y \sin x\right) d x+\left(e^{x} \cos y+2 \cos x\right) d y=0.
O que pede:
  • (a) Encontrar a solução geral da equação (ou seja, a família de curvas implícitas que satisfazem a equação).
  • (b) Encontrar a curva solução que satisfaz a condição inicial y(0)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar a forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=e^{x}\sin y-2y\sin x, \qquad N(x,y)=e^{x}\cos y+2\cos x.
  • A equação está escrita de forma que possivelmente é exata; isso é algo que devemos verificar.

Passo 2

Entendendo o que é uma equação exata (aula curta): uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em uma região quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Critério prático (para funções com derivadas contínuas): a equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calcular \partial M/\partial y. Começando de
M(x,y)=e^{x}\sin y-2y\sin x,
derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x}\cos y - 2\sin x.
Agora calcular \partial N/\partial x. Começando de
N(x,y)=e^{x}\cos y+2\cos x,
derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}\cos y - 2\sin x.
Como os dois resultados coincidem, temos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
logo a equação é exata (na região considerada onde as derivadas existem). Portanto existe uma função potencial \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Como \Phi_x=M, podemos encontrar \Phi integrando M em relação a x, tratando y como constante. Faço a integral termo a termo:
\Phi(x,y)=\int \left(e^{x}\sin y-2y\sin x\right)\,dx.
  • Para \int e^{x}\sin y\,dx: como \sin y é constante em relação a x, o resultado é e^{x}\sin y.
  • Para \int -2y\sin x\,dx: -2y é constante em x, então \int -2y\sin x\,dx = -2y(-\cos x)=2y\cos x.
Somando os termos e lembrando de adicionar uma função arbitrária de y (pois a integração em x pode perder termos que dependem só de y), obtemos
\Phi(x,y)=e^{x}\sin y+2y\cos x+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora usamos a outra condição \Phi_y=N para achar h(y). Primeiro calculo \Phi_y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{x}\cos y + 2\cos x + h'(y).
Devemos ter \Phi_y=N(x,y)=e^{x}\cos y+2\cos x. Igualando:
e^{x}\cos y + 2\cos x + h'(y)=e^{x}\cos y+2\cos x.
Daí segue imediatamente que
h'(y)=0.
Integrando h'(y)=0 em relação a y h(y)=C, com C constante real.

Passo 6

Substituindo h(y)=C na expressão da função potencial, a solução implícita geral (família de curvas) é
\Phi(x,y)=e^{x}\sin y+2y\cos x=C,
onde C é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial no formato implícito.
Observação didática: muitas equações exatas resultam em soluções implícitas \Phi(x,y)=C. Se for necessário, em alguns casos é possível isolar y explicitamente, mas aqui não é trivial isolá-la em termos elementares, e não é exigido.

Passo 7

Agora aplico a condição inicial para obter a curva particular pedida em (b). A condição é y(0)=1. Substituo x=0 e y=1 na solução geral para determinar C:
e^{0}\sin(1)+2\cdot 1\cdot \cos 0 = C.
Calculo os termos (mantendo em notação simbólica):
e^{0}=1,\qquad \cos 0=1,
logo
C=\sin(1)+2.
Portanto a curva solução que satisfaz y(0)=1 é dada implicitamente por
e^{x}\sin y+2y\cos x=\sin(1)+2.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para me deixar mais confiante): diferenciando implicitamente a solução geral \Phi(x,y)=C obtemos
\Phi_x + \Phi_y \frac{dy}{dx}=0,
ou seja
M + N\frac{dy}{dx}=0,
que é exatamente a forma original M\,dx+N\,dy=0. Isso confirma consistência da solução encontrada.

Resposta

(a) e^{x}\sin y+2y\cos x=C, onde C é constante.
(b) e^{x}\sin y+2y\cos x=\sin(1)+2.

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