Para cada um dos seguintes pares escolha a substância com a entropia mais elevada (por mol) na temperatura considerada.
\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) a 5 atm e \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) a 0,5 \mathrm{~atm}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Temos dois estados da mesma substância: \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) em duas pressões diferentes, na mesma temperatura (temperatura considerada é a mesma para os dois casos).
    • Estado A: \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) a 5\\ \mathrm{atm}.
    • Estado B: \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) a 0,5\\ \mathrm{atm}.
  • A pergunta: escolher, entre esses dois, a substância que tem a entropia molar mais elevada na temperatura considerada (ou seja, qual tem maior S por mol).

Passo 2

Estratégia e ideia física (sem fórmulas complicadas ainda):
  • Entropia é uma medida do número de microestados acessíveis ao sistema; mais volume disponível para o gás significa que as moléculas podem ocupar mais posições e, portanto, há mais microestados — isso sugere que, à mesma temperatura, um gás em pressão menor (maior volume) terá maior entropia.
  • Vamos transformar essa ideia em conta usando propriedades de gás ideal (esta é a forma usual e simples usada em provas quando a substância é um gás à pressão e temperatura normais): existe uma relação direta entre a variação da entropia molar e a variação de pressão a temperatura constante que podemos obter por integração.

Passo 3

Derivação passo a passo da relação entre entropia molar e pressão (tudo explicado):
  • Começamos do fato termodinâmico: para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para uma transformação isoterma de um gás ideal, a energia interna molar U não muda (depende só da temperatura). Portanto, \delta Q_{\text{rev}}=\delta W_{\text{rev}}=P\,\mathrm{d}V (trabalhamos com trabalho feito pelo sistema).
  • Substituindo em \mathrm{d}S e simplificando usando a equação dos gases ideais P V = R T (onde R é a constante universal dos gases, e vale \,R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\,):
\mathrm{d}S=\frac{P\,\mathrm{d}V}{T}=\frac{R T}{V}\cdot\frac{\mathrm{d}V}{T}=R\frac{\mathrm{d}V}{V}.
  • Integrando entre dois volumes V_1 e V_2 à mesma temperatura:
\Delta S = S(T,V_2)-S(T,V_1)=R\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V}=R\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Agora usamos V\propto 1/P (pela lei dos gases ideais a temperatura fixa), então
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
  • Portanto, escrevemos a relação prática entre entropias molares em função das pressões (à mesma T):
S(T,P_2)-S(T,P_1)=-R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Interpretação direta: se P_2<P_1 então \ln(P_2/P_1)<0 e -R\ln(P_2/P_1)>0, ou seja, a entropia é maior no estado de menor pressão.

Passo 4

Aplicando aos números do enunciado e calculando a diferença (passo a passo numérico):
  • Quero comparar S em 0{,}5\\ \mathrm{atm} com S em 5\\ \mathrm{atm}. Use P_1=5\\ \mathrm{atm} e P_2=0{,}5\\ \mathrm{atm}. Pela fórmula:
S(T,0{,}5)-S(T,5)=-R\ln\!\left(\frac{0{,}5}{5}\right)=-R\ln(0{,}1).
  • Note que \ln(0{,}1)=\ln(10^{-1})=-\ln(10). Logo
S(T,0{,}5)-S(T,5)=-R\bigl(-\ln(10)\bigr)=R\ln(10).
  • Usando \,R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\, e \ln(10)\approx2{,}302585\ldots,
S(T,0{,}5)-S(T,5)=8{,}314\cdot2{,}302585\ldots\approx19{,}15\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Conclusão numérica: a entropia molar do \mathrm{O}_2 a 0{,}5\\ \mathrm{atm} é aproximadamente 19{,}15\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} maior do que a entropia molar do \mathrm{O}_2 a 5\\ \mathrm{atm}, à mesma temperatura.

Passo 5

Interpretação final simples e motivadora:
  • Fizemos a conta e a intuição bateu certinho: menor pressão → maior volume disponível por mol → mais microestados possíveis → maior entropia.
  • Portanto, entre os dois dados, o \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) a 0{,}5\\ \mathrm{atm} tem entropia molar mais elevada. Tá pronto — você pode repetir esse raciocínio rápido na prova: comparar pressões à mesma temperatura; entropia cresce quando a pressão diminui, seguindo \Delta S=-R\ln(P_2/P_1).

Resposta

\mathrm{O}_2(\mathrm{g}) a 0{,}5\\ \mathrm{atm}

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