Para cada um dos seguintes pares de matrizes A e B, encontre uma matriz inversível P tal que B=P A.
A=[lll1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0],
B=[lll1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 2 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , B = 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 2 & 1 & 2
e pede uma matriz invertível P tal que B = P,A.
Isso significa que cada linha de B deve ser combinação linear das linhas de A, e essas combinações formam as linhas de P.

Passo 2

Vamos escrever a primeira linha de B, ell1(B) = (1,1,1), como combinação das linhas de A:
ell1(B) = alpha1,ell1(A) + beta1,ell2(A) + gamma1,ell3(A)
Como ell1(A)=(1,1,1), ell2(A)=(1,0,1) e ell3(A)=(0,0,0), basta escolher
alpha1 = 1, beta1 = 0, gamma1 = 0,
pois 1cdot(1,1,1)+(0)cdot(1,0,1)+(0)cdot(0,0,0)=(1,1,1).

Passo 3

Para a segunda linha de B, ell2(B)=(2,0,2), buscamos
ell2(B) = alpha2,(1,1,1) + beta2,(1,0,1)
Isto dá o sistema
(alpha2+beta2,;alpha2,;alpha2+beta2) = (2,0,2),
cuja solução é alpha2=0, beta2=2. Logo
ell2(B) = 0cdotell1(A) + 2cdotell2(A)

Passo 4

Para a terceira linha de B, ell3(B)=(2,1,2), resolvemos
(alpha3+beta3,;alpha3,;alpha3+beta3) = (2,1,2),
o que dá alpha3=1, beta3=1. Assim
ell3(B) = 1cdotell1(A) + 1cdotell2(A)

Passo 5

Com esses coeficientes, a matriz P genérica é
P = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 + gamma 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 0 & gamma 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 ,
onde gamma é parâmetro livre (corresponde a combinar a linha zero de A). Para que P seja invertível, basta escolher gammaneq0. Por exemplo gamma=1.

Passo 6

Com gamma=1 temos
P = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0
De fato det P = -2neq0 e verifica-se que P,A=B.

Resposta

P = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0

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