Para cada um dos seguintes pares de matrizes A e B, encontre uma matriz inversível P tal que B=P A.
A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0],
B=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 , B = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ,
e pede uma matriz invertível P tal que B = P,A. Como multiplicar à esquerda por P corresponde a aplicar combinações lineares às linhas de A, vamos expressar cada linha de B como combinação das linhas de A.

Passo 2

Para a primeira linha de B temos
linha1(B) = [1;0;1].
Em A,
linha1(A) = [1;1;1] e linha2(A) = [0;1;0].
Fazendo
[1;1;1] - [0;1;0] = [1;0;1],
vemos que
linha1(B) = linha1(A) ;-;linha2(A)

Passo 3

Para a segunda linha de B basta notar que
linha2(B) = [0;1;0] = linha2(A)
Para a terceira linha de B vemos que
linha3(A) - linha2(A) = [0;1;0] - [0;1;0] = [0;0;0],
logo
linha3(B) = linha3(A) - linha2(A)

Passo 4

As combinações acima dizem que a primeira linha de B é 1 vez a primeira linha de A mais -1 vez a segunda mais 0 vez a terceira; a segunda linha de B é 0 da primeira, 1 da segunda e 0 da terceira; a terceira linha de B é 0 da primeira, -1 da segunda e 1 da terceira. Portanto,
P = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Para confirmar que P é invertível, calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(P) =1cdotdet1&0-1&1 -(-1)cdotdet0&00&1 +0 =1cdot(1cdot1-0cdot(-1))-(-1)cdot0 =1neq0
Logo P é invertível e satisfaz B=P,A.

Resposta

P = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1

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