Para cada um dos seguintes pares de matrizes A e B, encontre uma matriz inversível P tal que B=P A.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz inversível P tal que
B = P\,A,
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é a ideia de expressar cada linha de B como combinação linear das linhas de A. As combinações formam as linhas de P.

Passo 2

Denotemos por \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 as linhas de A e por \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3 as linhas de B. Queremos coeficientes p_{ij} tais que
\mathbf{b}_i = p_{i1}\,\mathbf{a}_1 + p_{i2}\,\mathbf{a}_2 + p_{i3}\,\mathbf{a}_3,
para i=1,2,3. Então a matriz P=(p_{ij}) satisfaz B=P\,A.

Passo 3

Para \mathbf{b}_1=(1,1,1)\) resolvemos \[p_{11}(1,1,1) + p_{12}(1,0,1) + p_{13}(0,0,0) = (1,1,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} p_{11}+p_{12}=1,\\\ p_{11}=1, \end{cases}
logo p_{11}=1\], \[p_{12}=0, e p_{13} fica livre (vai multiplicar a linha nula de A).
Para \mathbf{b}_2=(2,0,2) temos
p_{21}(1,1,1) + p_{22}(1,0,1) + p_{23}(0,0,0) = (2,0,2),
que leva a
\begin{cases} p_{21}+p_{22}=2,\\\ p_{21}=0, \end{cases}
logo p_{21}=0\], \[p_{22}=2, p_{23} livre.
Para \mathbf{b}_3=(2,1,2) obtemos
p_{31}(1,1,1) + p_{32}(1,0,1) + p_{33}(0,0,0) = (2,1,2),
de onde
\begin{cases} p_{31}+p_{32}=2,\\\ p_{31}=1, \end{cases}
logo p_{31}=1\], \(p_{32}=1, p_{33} livre.

Passo 4

Precisamos escolher p_{13},p_{23},p_{33} de modo que P seja inversível. Uma escolha simples é
p_{13}=0,\quad p_{23}=0,\quad p_{33}=1.
Assim
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de P vale
\det(P) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&1\end{pmatrix} =1\cdot(2\cdot1-0\cdot1)=2\neq0,
logo P é invertível e de fato verifica B=P\,A.

Resposta

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

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