Seja
uma matriz quadrada invertível. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para toda matriz quadrada invertível
, vale
O conteúdo que vamos usar é:
- A definição de inversa, isto é,
e . - A propriedade da transposta de um produto:
. - O fato de que a transposta da identidade é ela própria:
.
Passo 2
Começamos da relação
Aplicando a transposição em ambos os lados, obtemos
Pela propriedade da transposta de um produto e pelo fato de
, isso vira
Passo 3
De modo análogo, partimos agora de
e transpondo ambas as partes:
Novamente aplicando
e
, vem
Passo 4
As duas igualdades
mostram que
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
. Para matrizes quadradas, isso implica que