Seja A uma matriz quadrada invertível. Mostre que \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para toda matriz quadrada invertível A, vale
\bigl(A^{T}\bigr)^{-1} \;=\;\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}.
O conteúdo que vamos usar é:
  1. A definição de inversa, isto é, A\,A^{-1}=I e A^{-1}A=I.
  2. A propriedade da transposta de um produto: \bigl(BC\bigr)^{T}=C^{T}B^{T}.
  3. O fato de que a transposta da identidade é ela própria: I^{T}=I.

Passo 2

Começamos da relação
A\,A^{-1}=I.
Aplicando a transposição em ambos os lados, obtemos
\bigl(A\,A^{-1}\bigr)^{T}=I^{T}.
Pela propriedade da transposta de um produto e pelo fato de I^{T}=I, isso vira
\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}\;A^{T}=I.

Passo 3

De modo análogo, partimos agora de
A^{-1}\,A=I
e transpondo ambas as partes:
\bigl(A^{-1}\,A\bigr)^{T}=I^{T}.
Novamente aplicando \bigl(BC\bigr)^{T}=C^{T}B^{T} e I^{T}=I, vem
A^{T}\;\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}=I.

Passo 4

As duas igualdades
\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}\,A^{T}=I \quad\text{e}\quad A^{T}\,\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}=I
mostram que \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de A^{T}. Para matrizes quadradas, isso implica que
\bigl(A^{T}\bigr)^{-1}=\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}.

Resposta

\bigl(A^{T}\bigr)^{-1}=\bigl(A^{-1}\bigr)^{T}.

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