Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é,
se
. Seja
é uma matriz triangular estritamente superior
e sejam
os vetor coluna correspondentes à base canônica do
.
a) Mostre que
é a
-ésima coluna de
.
b) Mostre que
e que
é uma combinação linear dos vetores
.
c) Mostre que
.
d) Mostre que
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que
d) Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma matriz estritamente triangular superior
, isto é,
e pede quatro resultados envolvendo a base canônica
, potência
e a inversa de
. Vamos usar definições de produto matriz-vetor, propriedades de entradas de
e a série de Neumann finita, já que
é nilpotente.
Passo 2
Para qualquer vetor canônico
, temos
pois
vale
se
e
caso contrário. Logo, o vetor
tem em sua
-ésima entrada exatamente
, ou seja, é a
-ésima coluna de
.
Passo 3
Da definição de estritamente triangular superior surge que
sempre que
.
- Para
, isso vale para todo , então toda coluna 1 de é zero e . - Para
, os únicos possíveis satisfazem . Logo
isto é, uma combinação linear de
.
Passo 4
Quando multiplicamos matrizes estritamente triangulares superiores, o “banda acima da diagonal” se desloca: em
só podem aparecer entradas possivelmente não nulas em posições
com
. Para
não existem pares
tais que
, pois
e
. Logo
Passo 5
Como
, a série de Neumann termina em
. De fato, multiplica-se
Analogamente a direita. Portanto
Resposta
a)
é a
-ésima coluna de
.
b) e, para
,
é combinação linear de
.
c) .
d) .
b)
c)
d)