Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal são 0 , isto é, a_{i j}=0 se i \geqslant j. Seja S é uma matriz triangular estritamente superior n \times n e sejam e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} os vetor coluna correspondentes à base canônica do \mathbb{R}^{n}.
a) Mostre que S e_{k} é a k-ésima coluna de S.
b) Mostre que S e_{1}=0 e que S e_{k} é uma combinação linear dos vetores e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{k-1}.
c) Mostre que S^{n}=0.
d) Mostre que (I-S)^{-1}=I+S+\cdots+S^{n-1}

Passo 1

O enunciado define uma matriz estritamente triangular superior S\in\mathbb{R}^{n\times n}, isto é,
a_{ij}=0\quad\text{sempre que }i\ge j,
e pede quatro resultados envolvendo a base canônica e_1,\dots,e_n, potência S^n e a inversa de I-S. Vamos usar definições de produto matriz-vetor, propriedades de entradas de S e a série de Neumann finita, já que S é nilpotente.

Passo 2

Para qualquer vetor canônico e_k, temos
(S\,e_k)_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}(e_k)_j=a_{i k},
pois (e_k)_j vale 1 se j=k e 0 caso contrário. Logo, o vetor S e_k tem em sua i-ésima entrada exatamente a_{ik}, ou seja, é a k-ésima coluna de S.

Passo 3

Da definição de estritamente triangular superior surge que a_{ik}=0 sempre que i\ge k.
  • Para k=1, isso vale para todo i\ge1, então toda coluna 1 de S é zero e S e_1=0.
  • Para k>1, os únicos possíveis a_{ik}\neq0 satisfazem i<k. Logo
S e_k=\sum_{i=1}^{n}(S e_k)_i\,e_i =\sum_{i=1}^{k-1}a_{ik}\,e_i,
isto é, uma combinação linear de e_1,\dots,e_{k-1}.

Passo 4

Quando multiplicamos matrizes estritamente triangulares superiores, o “banda acima da diagonal” se desloca: em S^p só podem aparecer entradas possivelmente não nulas em posições (i,j) com j\ge i+p. Para p\ge n não existem pares (i,j) tais que j\ge i+n\le n, pois j\le n e i\ge1. Logo
S^n=0.

Passo 5

Como S^n=0, a série de Neumann termina em n-1. De fato, multiplica-se
(I-S)\bigl(I+S+S^2+\cdots+S^{n-1}\bigr) =I - S^n =I-0 =I.
Analogamente a direita. Portanto
(I-S)^{-1}=I+S+S^2+\cdots+S^{n-1}.

Resposta

a) S e_k é a k-ésima coluna de S.
b) S e_1=0 e, para k>1, S e_k é combinação linear de e_1,\dots,e_{k-1}.
c) S^n=0.
d) (I-S)^{-1}=I+S+\cdots+S^{n-1}.

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