Seja \mathcal{M} o conjunto das matrizes da forma \left[\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right], onde a, b são números reais.
a) Motre que \mathcal{M} é fechado com respeito à adição e à multiplicação matricial, isto é, a soma ou multiplicação de duas matrizes de \mathcal{M} é uma matriz de \mathcal{M}.
b) Faça a matriz
\left[\begin{array}{cc} a & b \\\\ -b & a \end{array}\right]
corresponder ao número complexo a+b i. quais números complexos correpondem às seguintes matrizes?
\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc} 5 & 1 \\\\ -1 & 5 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
c) Usando a correspondência da parte b entre \mathcal{M} e \mathbb{C}, mostre que \mathcal{M} é um bom modelo matricial para números complexos, isto é, a adição em \mathcal{M} corresponde à adição em \mathbb{C}, e o mesmo para a multiplicação em \mathcal{M} e \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado define
\mathcal{M}=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ -b & a\end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede:
  1. Mostrar que \mathcal{M} é fechado em relação à adição e à multiplicação de matrizes.
  2. Fazer a correspondência
\begin{pmatrix}a & b\\\ -b & a\end{pmatrix}\longleftrightarrow a+bi
e aplicar a matrizes dadas.
3. Usar essa correspondência para verificar que a soma e o produto em \mathcal{M} coincidem com a soma e o produto em \mathbb{C}.

Passo 2

Sejam
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ -b_2 & a_2\end{pmatrix}.
Então
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\\ -(b_1+b_2) & a_1+a_2\end{pmatrix},
cuja forma é \bigl(a_1+a_2,b_1+b_2\bigr), portanto está em \mathcal{M}. Logo \mathcal{M} é fechado sob adição.

Passo 3

Com as mesmas notações, o produto é
AB=\begin{pmatrix} a_1a_2 - b_1b_2 & a_1b_2 + b_1a_2\\\\ -\bigl(a_1b_2 + b_1a_2\bigr) & a_1a_2 - b_1b_2 \end{pmatrix},
que tem a forma \bigl(a_1a_2 - b_1b_2,\;a_1b_2 + a_2b_1\bigr). Logo \mathcal{M} é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Usando a correspondência \bigl[a,b;-b,a\bigr]\mapsto a+bi, temos:
1. \begin{pmatrix}1&3\\\ -1&3\end{pmatrix}\mapsto 1+3i.
2. \begin{pmatrix}5&1\\\ -1&5\end{pmatrix}\mapsto 5+1i.
3. \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\mapsto 0+1i=i.
4. \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\mapsto 1+0i=1.

Passo 5

Considere a soma de dois elementos genéricos de \mathcal{M}:
\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ -b_1 & a_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ -b_2 & a_2\end{pmatrix} \longleftrightarrow (a_1+bi_1)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i.
Isso mostra que a adição em \mathcal{M} corresponde exatamente à adição em \mathbb{C}.

Passo 6

Analogamente, o produto em \mathcal{M}
\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ -b_1 & a_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ -b_2 & a_2\end{pmatrix} \longleftrightarrow (a_1+ b_1i)(a_2+ b_2i) =a_1a_2 - b_1b_2 + (a_1b_2+a_2b_1)i,
que coincide com a regra de multiplicação em \mathbb{C}.

Resposta

a) \mathcal{M} é fechado sob adição e multiplicação matricial.
b) As correspondências são
  1. 1+3i, 2. 5+i, 3. i, 4. 1.
    c) A soma e o produto em \mathcal{M} reproduzem exatamente a soma e o produto em \mathbb{C}, mostrando que \mathcal{M} é um modelo matricial dos números complexos.

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