Para cada um dos seguintes pares de matrizes A e B, encontre uma matriz inversível P tal que B=P A.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma matriz inversível P tal que
B = P\,A.
O conteúdo aqui é transformar A em B por operações elementares de linha, e usar matrizes elementares para construir P.

Passo 2

Observando
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\\ 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},
vemos duas metas:
  1. Na primeira linha, zerar o segundo elemento transformando (1,1,1) em (1,0,1) via
R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
  1. Na terceira linha, obter (0,0,0) a partir de (0,1,0) via
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.

Passo 3

A matriz elementar que realiza R_1 \leftarrow R_1 - R_2 é
E_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando E_1\,A obtemos a intermediária
E_1\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz elementar que realiza R_3 \leftarrow R_3 - R_2 é
E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Então
E_2\,(E_1\,A) = B.

Passo 5

Como produto de matrizes elementares é sempre inversível, definimos
P = E_2\,E_1,
que satisfaz
P\,A = E_2\,(E_1\,A) = B.

Passo 6

Calculando explicitamente o produto dá
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

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