Escrever a matriz X em função das matrizes invertíveis A, B e C.
a) \left(A X B^{-1}\right)^{T}=C
b) (B C)^{-1} X=A
c) (A B)^{T} X C=I_{n}

Passo 1

O enunciado pede para isolar a matriz X em três igualdades que envolvem inversa e transposta de produtos de matrizes. Vamos usar duas regras fundamentais:
  1. \,(MN)^T = N^T M^T.
  2. \,(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}.

Passo 2

Caso (a):
\bigl(A\,X\,B^{-1}\bigr)^T = C.
Pelo item 1,
\bigl(A\,X\,B^{-1}\bigr)^T = \bigl(B^{-1}\bigr)^T X^T A^T = B^{-T} X^T A^T = C.
Multiplicando à esquerda por B^T e à direita por (A^T)^{-1},
X^T = B^T\,C\,(A^T)^{-1}.
Fazendo a transposta dos dois lados,
X = \bigl(B^T\,C\,(A^T)^{-1}\bigr)^T = A^{-1}\,C^T\,B.

Passo 3

Caso (b):
(B\,C)^{-1}\,X = A.
Usando o item 2 em (B\,C)^{-1},
C^{-1}B^{-1}X = A.
Multiplicando à esquerda por B\,C,
X = B\,C\,A.

Passo 4

Caso (c):
(A\,B)^T\,X\,C = I_n.
Pelo item 1,
(A\,B)^T = B^T A^T,
então
B^T A^T\,X\,C = I_n.
Multiplicando à esquerda por (B^T A^T)^{-1}=(A^T)^{-1}(B^T)^{-1} e à direita por C^{-1},
X = (A^T)^{-1}(B^T)^{-1}\,C^{-1}.

Resposta

a) X = A^{-1}\,C^T\,B
b) X = B\,C\,A
c) X = (A^T)^{-1}\,(B^T)^{-1}\,C^{-1}

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