Para cada um dos seguintes pares de quações paramétricas, esboce a curva e determine a equação cartesiana.
x=sin (t) e y=cos (2 t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=sin(t), y=cos(2t), tin[0,2pi]
O conteúdo principal é curvas paramétricas e eliminação de parâmetro. Para isso vamos usar a identidade trigonométrica de ângulo duplo cos(2t)=1-2sin^2(t).

Passo 2

Aplicando a identidade em y:
y=cos(2t)=1-2sin^2(t)
Como x=sin(t), temos sin^2(t)=x^2. Substituindo:
y = 1 - 2x^2

Passo 3

A curva é a parábola de concavidade voltada para baixo dada por
y = 1 - 2x^2,
mas restrita a -1<= x<=1 (pois sin(t) varia entre -1 e 1).
Vértice em (0,1) e pontos finais em (pm1,-1). No esboço, basta desenhar essa parábola no intervalo [-1,1].

Resposta

Equação cartesiana:
y = 1 - 2x^2, -1 <= x <= 1
Esboço: parábola com vértice em (0,1), concavidade para baixo e interceptos em (pm1,-1).

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