Esboce a curva e determine a equação cartesiana para cada par de quações paramétricas a seguir:
x=cos ^2(t) e y=sin ^2(t), t in R.
As equações de a ), b) e c ) representam a mesma curva?

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = cos^2(t), y = sin^2(t), tinR,
e pede para esboçar a curva e encontrar sua equação cartesiana. Além disso pergunta se as parametrizações de a), b) e c) representam a mesma curva. Porém só temos os dados de a), faltando b) e c).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
cos^2(t) + sin^2(t) = 1
Substituindo x e y:
x + y = 1
Como cos^2(t) e sin^2(t) variam em [0,1], os pontos (x,y) ficam no segmento de reta em que
x+y=1, 0<= x<= 1, 0<= y<= 1

Passo 3

O esboço é simplesmente o segmento de reta que vai de (1,0) a (0,1) no primeiro quadrante, percorrido para frente e para trás à medida que t varia.

Passo 4

Não há como responder se as parametrizações de b) e c) representam a mesma curva, pois seus enunciados não foram fornecidos.

Resposta

a) A equação cartesiana é
x + y = 1, 0 <= x <= 1,;0<= y <= 1,
que é o segmento de reta entre (1,0) e (0,1).
b) e c) Informação insuficiente para determinar.

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