Para cada um dos seguintes pares de quações paramétricas, esboce a curva e determine a equação cartesiana.
x=cos (t) e y=-3 sin (t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas de uma curva: x=cos t e y=-3sin t para tin[0,2pi]. O conteúdo aqui é eliminação de parâmetro usando a identidade sin^2t+cos^2t=1.

Passo 2

Expressamos cos t e sin t em função de x e y: a partir de x=cos t temos cos t = x, e de y=-3sin t obtemos sin t = -tfracy3.

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica sin^2t+cos^2t=1 substituindo as expressões:
x^2 + l(-tfracy3r)^2 = 1
x^2 + tfracy^29 = 1

Passo 4

Reconhecemos que x^2+tfracy^29=1 é a equação de uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal a=1 e semieixo vertical b=3.

Passo 5

Para esboçar a curva, marcamos os pontos (pm1,0) e (0,pm3) e desenhamos a elipse. Como y=-3sin t, o traçado inicia em (1,0) para t=0 e segue no sentido horário até t=2pi.

Resposta

A equação cartesiana é x^2 + tfracy^29 = 1, que representa uma elipse centrada na origem com semieixos 1 (horizontal) e 3 (vertical), percorrida no sentido horário.

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