Dados os conjuntos
e
, os subconjuntos
e
de
, e a aplicação
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos
e
, dois subconjuntos
e uma aplicação
. Queremos mostrar a inclusão
Para isso, vamos usar as definições de imagem de conjunto e de diferença de conjuntos e fazer um argumento por elemento genérico.
Passo 2
Lembremos das definições:
para qualquer
,
e
e
Para provar
basta pegar um elemento arbitrário em
e mostrar que ele pertence a
.
Passo 3
Seja
. Por definição:
-
, ou seja, existe tal que . -
, isto é, não existe com .
Se por absurdo tivéssemos
, então
estaria em
, contradizendo o fato de
. Logo
. Portanto
e
, ou seja,
. Daí
.
Passo 4
Como todo
genérico de
pertence a
, concluímos que