Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos X e Y de A, e a aplicação f: A B.
Mostre que f(X-Y) supset f(X)-f(Y).

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos A e B, dois subconjuntos X,Ysubset A e uma aplicação fcolon Ato B. Queremos mostrar a inclusão
f(X - Y);supset;f(X) - f(Y)
Para isso, vamos usar as definições de imagem de conjunto e de diferença de conjuntos e fazer um argumento por elemento genérico.

Passo 2

Lembremos das definições:
f(S)=,f(s)mid sin S para qualquer Ssubset A,
e
S - T = ,sin S mid snotin T
Para provar f(X-Y)supset f(X)-f(Y) basta pegar um elemento arbitrário em f(X)-f(Y) e mostrar que ele pertence a f(X-Y).

Passo 3

Seja yin f(X)-f(Y). Por definição:
  1. yin f(X), ou seja, existe xin X tal que f(x)=y.
  2. ynotin f(Y), isto é, não existe zin Y com f(z)=y.
Se por absurdo tivéssemos xin Y, então f(x)=y estaria em f(Y), contradizendo o fato de ynotin f(Y). Logo xnotin Y. Portanto xin X e xnotin Y, ou seja, xin X-Y. Daí y=f(x)in f(X-Y).

Passo 4

Como todo y genérico de f(X)-f(Y) pertence a f(X-Y), concluímos que
f(X-Y);supset;f(X)-f(Y)

Resposta

f(X - Y)supset f(X) - f(Y)

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