Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos X e Y de A, e a aplicação f: A B.
Mostre que se f for injetora então f(X-Y)=f(X)-f(Y).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon Ato B injetora e dois subconjuntos X e Y de A. Precisamos mostrar que a imagem da diferença de conjuntos coincide com a diferença das imagens, ou seja,
f(Xsetminus Y);=;f(X)setminus f(Y)
Para isso vamos usar a definição de imagem de conjunto, de diferença de conjuntos e a propriedade de injetividade, e provar as duas inclusões que garantem a igualdade.

Passo 2

Prova de f(Xsetminus Y)subseteq f(X)setminus f(Y).
Seja bin f(Xsetminus Y). Então existe xin Xsetminus Y com
b = f(x)
Como xin X, fica bin f(X). E como xnotin Y, não pode haver yin Y com f(y)=b, pois isso, pela injetividade, implicaria y=xin Y, contradição. Logo bnotin f(Y). Concluímos que
bin f(X)e bnotin f(Y),
ou seja, bin f(X)setminus f(Y).

Passo 3

Prova de f(X)setminus f(Y)subseteq f(Xsetminus Y).
Seja bin f(X)setminus f(Y). Então bin f(X), logo existe xin X com
b = f(x),
e ao mesmo tempo bnotin f(Y). Se por absurdo xin Y, então f(x)=bin f(Y), o que contradiz bnotin f(Y). Portanto xnotin Y. Assim xin Xsetminus Y e daí
b = f(x)in f(Xsetminus Y)

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões
f(Xsetminus Y)subseteq f(X)setminus f(Y) e f(X)setminus f(Y)subseteq f(Xsetminus Y),
seguimos que
f(Xsetminus Y) ;=; f(X)setminus f(Y)

Resposta

f(X-Y)=f(X)-f(Y)

Exercícios relacionados