Dados os conjuntos
e
, os subconjuntos
e
de
, e a aplicação
.
Mostre que se
for injetora então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
injetora e dois subconjuntos
e
de
. Precisamos mostrar que a imagem da diferença de conjuntos coincide com a diferença das imagens, ou seja,
Para isso vamos usar a definição de imagem de conjunto, de diferença de conjuntos e a propriedade de injetividade, e provar as duas inclusões que garantem a igualdade.
Passo 2
Prova de
.
Seja . Então existe
com
Seja
Como
, fica
. E como
, não pode haver
com
, pois isso, pela injetividade, implicaria
, contradição. Logo
. Concluímos que
ou seja,
.
Passo 3
Prova de
.
Seja . Então
, logo existe
com
Seja
e ao mesmo tempo
. Se por absurdo
, então
, o que contradiz
. Portanto
. Assim
e daí
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões
seguimos que