Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos W e Z de B, e a aplicação f: A B. A imagem inversa de W pela função f é o conjunto f^-1(W), formado por todos os pontos x in A tais que f(x) in W. Assim
f^-1(W)=x in A ; f(x) in W
Mostre que existe W subset B tal que f^-1(W)=emptyset.

Passo 1

O enunciado define a imagem inversa de um subconjunto Wsubset B por
f^-1(W)=xin Amid f(x)in W
Queremos mostrar que existe algum Wsubset B tal que
f^-1(W)=emptyset
O conteúdo-chave aqui é entender que, para a pré-imagem ser vazia, não pode existir xin A com f(x)in W.

Passo 2

Se f^-1(W)=emptyset, isso significa que
“não existe xin A tal que f(x)in W”.
Em outras palavras, W deve ser um subconjunto de B que não contém nenhum ponto da imagem de f, ou seja, deve ser disjunto de
Im(f)=f(A)=,f(x)mid xin A

Passo 3

Basta então escolher
W = B setminus Im(f)
Por construção, para todo xin A vale f(x)in Im(f), logo f(x)notin BsetminusIm(f). Assim não existe xin A com f(x)in W, e portanto
f^-1(W)=emptyset

Resposta

W = B setminus f(A)

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