Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL^-11s(s+2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de 1s(s+2). O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a técnica de frações parciais e a tabela básica de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais: assumimos 1s(s+2)=As+Bs+2 Multiplicando ambos os lados por s(s+2), fica 1=A(s+2)+Bs Para achar A e B: definindo s=0 vem 1=2A, logo A=tfrac12. Definindo s=-2 vem 1=-2B, logo B=-tfrac12.

Passo 3

Agora reescrevemos 1s(s+2)=1/2s-1/2s+2 Sabendo que a transformada inversa de 1/s é a função constante 1 e de 1/(s+2) é e^-2t, aplicamos a linearidade: mathscrL^-1tfrac1/2s=tfrac12,mathscrL^-1tfrac1/2s+2=tfrac12e^-2t

Passo 4

Subtraindo os termos, obtemos a solução em termos de t: f(t)=tfrac12-tfrac12e^-2t, que é a transformada inversa buscada.

Resposta

f(t)=tfrac12l(1-e^-2tr)

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