Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL(2 t-3)^2

Passo 1

A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por mathscrLf(t)(s)= integral0^inftyf(t)e^-st,dt. Aqui queremos mathscrL(2t-3)^2, mas em vez de calcular a integral direta é mais prático usar a propriedade de linearidade e transformadas conhecidas de potências de t.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado:
(2t-3)^2 = 4t^2 - 12t + 9

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace temos:
mathscrL(2t-3)^2 = 4,mathscrLt^2 - 12,mathscrLt + 9,mathscrL1

Passo 4

Agora usamos as fórmulas padrão:
mathscrLt^n = n!s^n+1,
então
mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3,

Passo 5

mathscrLt = 1!s^2 = 1s^2,

Passo 6

mathscrL1 = 1s

Passo 7

Substituindo de volta:
mathscrL(2t-3)^2 = 4cdot2s^3 - 12cdot1s^2 + 9cdot1s = 8s^3 - 12s^2 + 9s

Passo 8

Se preferir, coloque sobre um denominador comum s^3:
mathscrL(2t-3)^2 = 9s^2 - 12s + 8s^3

Resposta

mathscrL(2t-3)^2 = 9s^2 - 12s + 8s^3

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