Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
(use potência: não requer parciais)
(use potência: não requer parciais)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) de
Informações dadas: a variável de integração é
e a expressão tem um termo do tipo
elevado a
no denominador. O objetivo é encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a aparência usando potência negativa:
Escrever assim é útil porque podemos aplicar a regra de potências para integração.
Passo 3
Regra de potência para antiderivada (explicada): para qualquer constante
e qualquer expoente
diferente de
,
Por que isso funciona? Se definirmos
, então por derivação (regra da potência + regra da cadeia) temos
ou seja,
é uma antiderivada de
. É necessário
para evitar divisão por zero.
Passo 4
Aplicando a regra com
e
:
Calcule :
Calcule
Logo
Simplificando:
Passo 5
Checagem rápida por derivação: derivando
,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.