Resolva as integrais, mostrando a decomposição e a integração termo a termo.
\int \frac{1}{(x-2)^{3}} d x
(use potência: não requer parciais)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) de
\int \frac{1}{(x-2)^{3}}\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x e a expressão tem um termo do tipo (x-2) elevado a 3 no denominador. O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{(x-2)^3}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a aparência usando potência negativa:
\frac{1}{(x-2)^3} = (x-2)^{-3}.
Escrever assim é útil porque podemos aplicar a regra de potências para integração.

Passo 3

Regra de potência para antiderivada (explicada): para qualquer constante a e qualquer expoente n diferente de -1,
\int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso funciona? Se definirmos F(x)=\dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1}, então por derivação (regra da potência + regra da cadeia) temos
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}(x-a)^{n}\cdot 1=(x-a)^{n},
ou seja, F é uma antiderivada de (x-a)^n. É necessário n\neq-1 para evitar divisão por zero.

Passo 4

Aplicando a regra com a=2 e n=-3:
Calcule n+1:
n+1 = -3+1 = -2.
Logo
\int (x-2)^{-3}\,dx = \frac{(x-2)^{-2}}{-2} + C.
Simplificando:
\frac{(x-2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}(x-2)^{-2} = -\frac{1}{2(x-2)^2}.

Passo 5

Checagem rápida por derivação: derivando F(x)=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{-2},
F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot(-2)(x-2)^{-3}\cdot 1 = (x-2)^{-3} = \frac{1}{(x-2)^3},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2(x-2)^2}+C

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