Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
Escolther…
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente, e explicitar qual teste confirma esse fato.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A soma é sobre
. - O termo geral é
.
Passo 2
Intuição inicial (comportamento para
grande). Vou ver como o termo
se comporta quando
. Para isso, aproximo as potências dominantes:
-
tem ordem quando é grande, porque o termo fica insignificante diante de . -
tem ordem quando é grande.
Portanto, heurísticamente
Isto sugere que a série se comporta como a p-série
, cuja soma diverge porque
. Mas isso é só intuição; agora aplico um teste rigoroso.
Passo 3
Enunciado do teste que vou usar: teste da comparação por limite (limit comparison test). A versão que uso é:
Se
e
para todo
suficientemente grande e
existe e
, então
converge se, e somente se,
converge.
Vou escolher
(a p-série com
), pois a intuição mostrou que
tem a mesma ordem assintótica que
.
Passo 4
Cálculo do quociente
. Escrevo explicitamente cada passo algébrico e fatorações por potências de
.
Começo com
Então
Agora fatoro as potências dominantes dentro da raiz e no denominador:
Substituindo essas expressões no quociente:
Como
, tem-se
Agora tomo o limite quando
:
Logo o limite
existe e
, que é um número finito e positivo.
Passo 5
Conclusão a partir do teste da comparação por limite:
-
Como
, as séries e têm o mesmo comportamento quanto a convergência. -
A série de comparação é a p-série
. Pelo teste da p-série (ou pelo teste da integral), sabe-se que a p-série converge somente se ; aqui , portanto diverge. Uma verificação rápida pela integral:, logo a p-série diverge. -
Como a série de comparação diverge e o limite do quociente é um número positivo e finito, a série original também diverge.
Passo 6
Resumo didático curto (como usar isso numa prova): ao ver potências grandes dentro de raízes e somas de potências, fatorar as potências dominantes e comparar com uma p-série é um caminho padrão. Aqui a raiz transforma
em
; comparar com
e aplicar o teste da comparação por limite é a maneira mais direta e rápida de justificar rigorizamente a divergência.
Resposta
Divergente.