Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{193}+1}}{n^{97}+1} \quad Escolther…

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{193}+1}}{n^{97}+1}
é convergente ou divergente, e explicitar qual teste confirma esse fato.
Informações dadas explicitamente:
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sqrt{n^{193}+1}}{n^{97}+1}.

Passo 2

Intuição inicial (comportamento para n grande). Vou ver como o termo a_n se comporta quando n\to\infty. Para isso, aproximo as potências dominantes:
  • \sqrt{n^{193}+1} tem ordem \,n^{193/2}\, quando n é grande, porque o termo +1 fica insignificante diante de n^{193}.
  • n^{97}+1 tem ordem \,n^{97}\, quando n é grande.
Portanto, heurísticamente
a_n \sim \frac{n^{193/2}}{n^{97}} = n^{193/2-97} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}}.
Isto sugere que a série se comporta como a p-série \sum 1/n^{1/2}, cuja soma diverge porque p=\tfrac{1}{2}\le 1. Mas isso é só intuição; agora aplico um teste rigoroso.

Passo 3

Enunciado do teste que vou usar: teste da comparação por limite (limit comparison test). A versão que uso é:
Se a_n>0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.
Vou escolher b_n=\dfrac{1}{n^{1/2}} (a p-série com p=\tfrac{1}{2}), pois a intuição mostrou que a_n tem a mesma ordem assintótica que b_n.

Passo 4

Cálculo do quociente \dfrac{a_n}{b_n}. Escrevo explicitamente cada passo algébrico e fatorações por potências de n.
Começo com
a_n=\frac{\sqrt{n^{193}+1}}{n^{97}+1}, \qquad b_n=\frac{1}{n^{1/2}}.
Então
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{n^{193}+1}}{n^{97}+1}\cdot n^{1/2}.
Agora fatoro as potências dominantes dentro da raiz e no denominador:
\sqrt{n^{193}+1} = n^{193/2}\sqrt{1 + n^{-193}},
n^{97}+1 = n^{97}\bigl(1 + n^{-97}\bigr).
Substituindo essas expressões no quociente:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{1/2}\,n^{193/2}\sqrt{1+n^{-193}}}{n^{97}\bigl(1+n^{-97}\bigr)} = \frac{n^{(1+193)/2}\sqrt{1+n^{-193}}}{n^{97}\bigl(1+n^{-97}\bigr)}.
Como \dfrac{1+193}{2}=97, tem-se
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{97}\sqrt{1+n^{-193}}}{n^{97}\bigl(1+n^{-97}\bigr)} = \frac{\sqrt{1+n^{-193}}}{1+n^{-97}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0} = 1.
Logo o limite L existe e L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 5

Conclusão a partir do teste da comparação por limite:
  • Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto a convergência.
  • A série de comparação é a p-série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{1/2}}. Pelo teste da p-série (ou pelo teste da integral), sabe-se que a p-série \sum \dfrac{1}{n^{p}} converge somente se p>1; aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}
    diverge. Uma verificação rápida pela integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty} = \infty, logo a p-série diverge.
  • Como a série de comparação diverge e o limite do quociente é um número positivo e finito, a série original também diverge.

Passo 6

Resumo didático curto (como usar isso numa prova): ao ver potências grandes dentro de raízes e somas de potências, fatorar as potências dominantes e comparar com uma p-série é um caminho padrão. Aqui a raiz transforma n^{193} em n^{193/2}; comparar com 1/n^{1/2} e aplicar o teste da comparação por limite é a maneira mais direta e rápida de justificar rigorizamente a divergência.

Resposta

Divergente.

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