Para cada um dos seguintes subconjuntos de mathbbR^3, estabeleça se é um subespaço vetorial.
V2=(x, y, z): x y z=0;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto V₂={(x,y,z)∈ℝ³: xyz=0} é um subespaço de ℝ³. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial, que exige: (i) o vetor zero estar em V₂, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos o vetor zero. Como 0·0·0=0, temos (0,0,0)∈V₂. Em seguida, para qualquer vetor v=(x,y,z) tal que xyz=0 e qualquer escalar α, temos αx·αy·αz=α³(xyz)=α³·0=0, logo αv∈V₂. Portanto, as condições (i) e (iii) estão satisfeitas.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob soma. Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,1). Observamos que para u: 1·0·1=0 e para v: 0·1·1=0, logo ambos estão em V₂. Mas u+v=(1,1,2) e 1·1·2=2≠0, portanto u+v∉V₂.

Passo 4

Como o conjunto não é fechado sob a soma de vetores, concluímos que V₂ não satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial.

Resposta

V₂ não é um subespaço vetorial de ℝ³.

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