Para cada um dos seguintes subconjuntos de
, estabeleça se é um subespaço vetorial.
;
Passo 1
A questão define o subconjunto V₃ de ℝ³ por V₃ = {(x,y,z) : y = z e x = 0}. O conteúdo envolve verificar as três propriedades que caracterizam um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de ℝ³ pertence a V₃. O vetor zero é (0,0,0) e obedece às condições y = z (0 = 0) e x = 0. Logo, V₃ não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Verificamos a fechamento sob soma. Tomemos u = (0,y₁,y₁) e v = (0,y₂,y₂) em V₃. Então u + v = (0, y₁ + y₂, y₁ + y₂). Como (y₁ + y₂) = (y₁ + y₂) e x = 0, concluímos que u + v ∈ V₃.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Para um escalar α ∈ ℝ e um vetor u = (0,y,y) em V₃, temos αu = (0, αy, αy). Novamente αy = αy e x = 0, logo αu ∈ V₃.
Passo 5
Mostramos a forma paramétrica e concluímos. Note que V₃ = {(0,y,y) : y ∈ ℝ} = {y(0,1,1) : y ∈ ℝ} = span{(0,1,1)}. Sendo o span de um vetor, V₃ é um subespaço vetorial de dimensão 1 em ℝ³.
Resposta
V₃ é um subespaço vetorial de ℝ³ pois V₃ = span{(0,1,1)}.