Para cada um dos seguintes subconjuntos de mathbbR^3, estabeleça se é um subespaço vetorial.
V4=(x, y, z): x+y+z=0 ; x-y=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V4=(x,y,z):x+y+z=0;;;x-y=1 é um subespaço de R^3. O conteúdo principal é a definição de subespaço vetorial, que exige: (i) conter o vetor zero; (ii) ser fechado para somas; (iii) ser fechado para multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar se o vetor zero (0,0,0) pertence a V4. Substituindo em x-y=1 temos 0-0=0, mas deveria ser igual a 1. Logo, (0,0,0) não satisfaz as equações e não pertence a V4. Pelo fato de o vetor zero não pertencer, não faz sentido testar as demais propriedades, pois falha a condição necessária de conter o vetor zero.

Resposta

O conjunto V4 não é um subespaço vetorial de R^3.

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