Exercício 4
Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(1) Qualquer família de 4 vetores em
é linearmente dependente.
(2) Qualquer família de 2 vetores em
é linearmente independente.
(3) Qualquer família de 4 vetores em
gera
.
(4) Qualquer família de 2 vetores
gera um subespaço vetorial estritamente contido em
.
(5) Qualquer família de 3 vetores em
é uma base de
.
(6) Qualquer base de
é uma família de 3 vetores.
(1) Qualquer família de 4 vetores em
(2) Qualquer família de 2 vetores em
(3) Qualquer família de 4 vetores em
(4) Qualquer família de 2 vetores
(5) Qualquer família de 3 vetores em
(6) Qualquer base de
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre famílias de vetores em
. O conteúdo envolve dependência e independência linear, geração (span), bases e o conceito de dimensão de um espaço vetorial. Vamos usar o fato de que
.
Passo 2
Para a afirmação (1): “Qualquer família de 4 vetores em
é linearmente dependente.” Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é linearmente dependente. Aqui 4>3, logo toda família de 4 vetores em
é dependente.
Para a afirmação (2): “Qualquer família de 2 vetores em é linearmente independente.” Duas vetores podem ser múltiplos entre si (por exemplo,
e
), o que gera dependência linear. Nem toda família de 2 vetores é independente.
Para a afirmação (2): “Qualquer família de 2 vetores em
Passo 3
Para a afirmação (3): “Qualquer família de 4 vetores em
gera
.” Apesar de 4 vetores poderem gerar
, podem estar todos contidos num mesmo plano ou reta, não atingindo todo o espaço. Então nem sempre geram o espaço inteiro.
Para a afirmação (4): “Qualquer família de 2 vetores em gera um subespaço vetorial estritamente contido em
.” A geração por 2 vetores tem dimensão no máximo 2, logo não alcança
(que tem dimensão 3). Portanto esse subespaço é sempre estritamente menor.
Para a afirmação (4): “Qualquer família de 2 vetores em
Passo 4
Para a afirmação (5): “Qualquer família de 3 vetores em
é uma base de
.” Uma base precisa ser linearmente independente e gerar o espaço. Três vetores podem falhar numa dessas condições (podem ser dependentes ou não gerar). Nem toda família de 3 vetores é base.
Para a afirmação (6): “Qualquer base de é uma família de 3 vetores.” Pelo teorema da dimensão, toda base de um espaço de dimensão 3 tem exatamente 3 vetores.
Para a afirmação (6): “Qualquer base de
Resposta
(1) Verdadeira; (2) Falsa; (3) Falsa; (4) Verdadeira; (5) Falsa; (6) Verdadeira.