Exercício 4

Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(1) Qualquer família de 4 vetores em R^3 é linearmente dependente.
(2) Qualquer família de 2 vetores em R^3 é linearmente independente.
(3) Qualquer família de 4 vetores em R^3 gera R^3.
(4) Qualquer família de 2 vetores em R^3 gera um subespaço vetorial estritamente contido em R^3.
(5) Qualquer família de 3 vetores em R^3 é uma base de R^3.
(6) Qualquer base de R^3 é uma família de 3 vetores.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre famílias de vetores em R^3. O conteúdo envolve dependência e independência linear, geração (span), bases e o conceito de dimensão de um espaço vetorial. Vamos usar o fato de que dim(R^3)=3.

Passo 2

Para a afirmação (1): “Qualquer família de 4 vetores em R^3 é linearmente dependente.” Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é linearmente dependente. Aqui 4>3, logo toda família de 4 vetores em R^3 é dependente.
Para a afirmação (2): “Qualquer família de 2 vetores em R^3 é linearmente independente.” Duas vetores podem ser múltiplos entre si (por exemplo, v e 2v), o que gera dependência linear. Nem toda família de 2 vetores é independente.

Passo 3

Para a afirmação (3): “Qualquer família de 4 vetores em R^3 gera R^3.” Apesar de 4 vetores poderem gerar R^3, podem estar todos contidos num mesmo plano ou reta, não atingindo todo o espaço. Então nem sempre geram o espaço inteiro.
Para a afirmação (4): “Qualquer família de 2 vetores em R^3 gera um subespaço vetorial estritamente contido em R^3.” A geração por 2 vetores tem dimensão no máximo 2, logo não alcança R^3 (que tem dimensão 3). Portanto esse subespaço é sempre estritamente menor.

Passo 4

Para a afirmação (5): “Qualquer família de 3 vetores em R^3 é uma base de R^3.” Uma base precisa ser linearmente independente e gerar o espaço. Três vetores podem falhar numa dessas condições (podem ser dependentes ou não gerar). Nem toda família de 3 vetores é base.
Para a afirmação (6): “Qualquer base de R^3 é uma família de 3 vetores.” Pelo teorema da dimensão, toda base de um espaço de dimensão 3 tem exatamente 3 vetores.

Resposta

(1) Verdadeira; (2) Falsa; (3) Falsa; (4) Verdadeira; (5) Falsa; (6) Verdadeira.

Exercícios relacionados