Exercício 5

Quais são as subfamílias maximais independentes da família (1,0,1),(2,0,2),(1,1,1) subset R^3 ?

Passo 1

Enunciado: temos o conjunto de vetores (1,0,1),,(2,0,2),,(1,1,1) em R^3. Queremos encontrar as subfamílias maximalmente independentes, ou seja, os maiores subconjuntos que são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro note que (2,0,2)=2,(1,0,1), então qualquer subconjunto que contenha tanto (1,0,1) quanto (2,0,2) é linearmente dependente. Por outro lado, o vetor (1,1,1) não é múltiplo de (1,0,1) nem de (2,0,2). Logo, os pares (1,0,1) e (1,1,1), bem como (2,0,2) e (1,1,1), são independentes. Não existe tripla independente porque já temos dependência entre (1,0,1) e (2,0,2). Portanto, as maiores subfamílias independentes têm dimensão 2 e são exatamente esses dois pares.

Resposta

As subfamílias maximais independentes são {(1,0,1), (1,1,1)} e {(2,0,2), (1,1,1)}.

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