Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
e pede bases para o núcleo
e para a imagem
. Para isso vamos, primeiro, resolver a equação homogênea
e depois ver quais vetores geram o conjunto de todas as saídas de
.
Passo 2
Para encontrar
, impomos
Essa única condição dá
. Logo
Passo 3
Para achar
, basta ver para quais vetores em
há preimagem. Observe as imagens dos vetores padrão:
Ambos são múltiplos de
, então
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de