Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(a) T(x1, x2)=(2 x1+x2, 2 x1+x2).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:R^2toR^2, T(x1,x2)=(2x1+x2,;2x1+x2)
e pede bases para o núcleo ker(T) e para a imagem Im(T). Para isso vamos, primeiro, resolver a equação homogênea T(x1,x2)=(0,0) e depois ver quais vetores geram o conjunto de todas as saídas de T.

Passo 2

Para encontrar ker(T), impomos
T(x1,x2)=(0,0)Longrightarrow 2x1+x2=0e 2x1+x2=0
Essa única condição dá x2=-2x1. Logo
ker(T)=(x1,-2x1)mid x1inR =span(1,-2)

Passo 3

Para achar Im(T), basta ver para quais vetores em R^2 há preimagem. Observe as imagens dos vetores padrão:
T(1,0)=(2,2), T(0,1)=(1,1)
Ambos são múltiplos de (1,1), então
Im(T)=span(1,1)

Resposta

Base de ker(T): (1,-2)
Base de Im(T): (1,1)

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