A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base canônica é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5).
(b) Indique uma base para a imagem de T. e responda: T é sobrejectiva?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5
Queremos encontrar uma base de ImT e decidir se T é sobrejetiva. Para isso vamos usar o fato de que ImT é gerado pelas colunas de [T] e que T é sobrejetiva se e somente se dim(ImT)=3.

Passo 2

As colunas de [T] são
v1 = 120, v2 = 360, v3 = 365
Observe que v2 = 3,v1, logo v2 é combinação linear de v1. Já v3 não é múltiplo de v1 (pois sua terceira componente é 5neq0). Portanto v1,v3 é um conjunto de vetores independentes que gera todas as colunas.

Passo 3

Como , sua dimensão é , menor que . Logo não é sobrejetiva, pois não atinge todo .

Resposta

Uma base para ImT é
120,;365
Como dim(ImT)=2<3, T não é sobrejetiva.

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