A matriz da transformação linear em relação a base canônica é igual a .
(b) Indique uma base para a imagem de T. e responda: T é sobrejectiva?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5
Queremos encontrar uma base de ImT e decidir se T é sobrejetiva. Para isso vamos usar o fato de que ImT é gerado pelas colunas de [T] e que T é sobrejetiva se e somente se dim(ImT)=3.
Passo 2
As colunas de [T] são
v1 = 120, v2 = 360, v3 = 365
Observe que v2 = 3,v1, logo v2 é combinação linear de v1. Já v3 não é múltiplo de v1 (pois sua terceira componente é 5neq0). Portanto v1,v3 é um conjunto de vetores independentes que gera todas as colunas.
Passo 3
Como , sua dimensão é , menor que . Logo não é sobrejetiva, pois não atinge todo .