Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, com, definida por T(x, y)=(2 x 3 y, x-y). Determine a matriz [T]beta^alpha quando
(b) alpha=(-1,3),(1,1) e beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^2 to R^3, T(x,y) = (2x,;3y,;x-y),
e pede a matriz de T relativa à base do domínio
alpha = (-1,3),(1,1)
e à base do contradomínio
beta = (1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1).
Para cada vetor de alpha calculamos sua imagem por T e, em seguida, expressamos essa imagem como combinação linear dos vetores de beta. Essas coordenadas formam as colunas de [T]beta^alpha.

Passo 2

Calculamos T do primeiro vetor de alpha, que é (-1,3):
T(-1,3) = (2cdot(-1),;3cdot3,;(-1)-3) = (-2,;9,;-4)

Passo 3

Queremos
Isso gera o sistema
De e .
Portanto as coordenadas de em são , que será a primeira coluna de .

Passo 4

Agora
Queremos tais que
Isso dá o sistema
De , .
As coordenadas de em são , que será a segunda coluna de .

Passo 5

Juntando as colunas obtidas, a matriz de T de alpha para beta é
[T]beta^alpha = 3 & 1 -1 & 1 -4 & 0

Resposta

[T]beta^alpha = 3 & 1 -1 & 1 -4 & 0

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