Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(f) T(x1, x2, x3)=(x1-x3, x2+x3).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x1,x2,x3) = (x1 - x3,;x2 + x3)
Queremos encontrar uma base de ker(T) e uma base de Im(T).

Passo 2

Para ker(T) resolvemos o sistema
T(x1,x2,x3) = (0,0)
isto é, as equações
x1 - x3 = 0, x2 + x3 = 0

Passo 3

Da primeira equação vem x1 = x3. Da segunda vem x2 = -x3. Logo todo vetor no núcleo é da forma
(x1,x2,x3) = (x3,,-x3,;x3) = x3,(1,-1,1)
Portanto
ker(T) = ,x3,(1,-1,1)mid x3inR
e uma base natural é (1,-1,1).

Passo 4

Para Im(T) podemos observar as imagens dos vetores da base canônica de R^3:
T(e1)=T(1,0,0) = (1,0), T(e2)=T(0,1,0) = (0,1), T(e3)=T(0,0,1) = (-1,1)

Passo 5

Os vetores (1,0) e (0,1) já formam base de R^2. Como ( -1,1) é combinação linear de (1,0) e (0,1), concluímos que
Im(T) = span(1,0),(0,1) = R^2
e uma base é (1,0),(0,1).

Resposta

Base de ker(T): (1,-1,1)
Base de Im(T): (1,0),(0,1)

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