Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(e) T(x1, x2, x3)=(x1-x3, x1+2 x3, x2+3 x3).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x1,x2,x3) = (,x1 - x3,;x1 + 2x3,;x2 + 3x3,)
Queremos encontrar bases de ker(T) e de Im(T). Vamos usar a matriz de T na base canônica e aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T relativa à base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1)=T(1,0,0) = (1,1,0), T(e2)=T(0,1,0) = (0,0,1), T(e3)=T(0,0,1) = (-1,2,3),
a matriz cujas colunas são essas imagens é
A = 1 & 0 & -1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3

Passo 3

Para achar
Da primeira equação , logo . Da terceira vem . Assim
ou seja, o núcleo é trivial.

Passo 4

Para a imagem, sabemos que Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A:
Im(T) = lang<=,(1,1,0),;(0,0,1),;(-1,2,3),rang<=
Verificamos que essas três colunas são linearmente independentes (não há combinação não trivial que as anule), portanto diml(Im(T)r)=3. Como o contradomínio tem dimensão 3, Im(T)=R^3.

Resposta

Base de ker(T): conjunto vazio (ou seja, ker(T)=0, não há vetor não-nulo).
Base de Im(T)$: por exemplo
(1,1,0),;(0,0,1),;(-1,2,3),
que gera todo R^3.

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