Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(e) .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar bases de e de . Vamos usar a matriz de na base canônica e aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de relativa à base canônica . Como
a matriz cujas colunas são essas imagens é
Passo 3
Para achar
Da primeira equação , logo . Da terceira vem . Assim
ou seja, o núcleo é trivial.
Passo 4
Para a imagem, sabemos que Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A:
Im(T) = lang<=,(1,1,0),;(0,0,1),;(-1,2,3),rang<=
Verificamos que essas três colunas são linearmente independentes (não há combinação não trivial que as anule), portanto diml(Im(T)r)=3. Como o contradomínio tem dimensão 3, Im(T)=R^3.
Resposta
Base de ker(T): conjunto vazio (ou seja, ker(T)=0, não há vetor não-nulo).
Base de Im(T)$: por exemplo