Use multiplicação matricial para encontrar a projeção ortogonal de (-2,1,3) sobre o
plano y z

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor (-2,1,3) sobre o plano yz. Esse plano é um subespaço de R^3 gerado pelos vetores unitários
e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
Vamos usar a fórmula de projeção em subespaço via matriz
P ;=; E,(E^T E)^-1 E^T,
onde E tem colunas formadas pelos vetores da base ortonormal.

Passo 2

Montamos a matriz EinR^3times2 cujas colunas são e2 e e3:
E = 0 & 0 1 & 0 0 & 1
Como e2,e3 é ortonormal, temos
E^T E = I2,
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P = E,E^T

Passo 3

Calculamos explicitamente
P = E,E^T = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Aplicando P ao vetor v = (-2,1,3), obtemos
P,v = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -213 = 013

Resposta

A projeção ortogonal de (-2,1,3) no plano yz é ,(0,1,3).

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