A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base canônica é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5).
(a) Determine uma base para o núcleo de T , e responda: T é injectiva?

Passo 1

O enunciado dá a matriz canônica de T:R^3toR^3 como
A = [T]alpha^alpha = 1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5
e pede uma base de ker(T) e se T é injetiva. Vamos resolver o sistema homogêneo A,x=0 por eliminação.

Passo 2

Escrevemos o sistema
x1 + 3x2 + 3x3 = 0, 2x1 + 6x2 + 6x3 = 0, 0cdot x1 + 0cdot x2 + 5x3 = 0
Da terceira equação segue imediatamente
x3 = 0

Passo 3

Substituindo x3=0 na primeira equação obtemos
x1 + 3x2 = 0 Longrightarrow x1 = -3x2
O parâmetro livre é x2=t. Logo todo vetor do núcleo é
(x1,x2,x3) = (-3t,,t,,0) = t,(-3,1,0)

Passo 4

Da parametrização vemos que ker(T) é um subespaço de dimensão 1, com base
(-3,1,0)
Como ker(T)neq0, a transformação não é injetiva.

Resposta

Base de ker(T): (-3,1,0).
T não é injetiva.

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