A matriz da transformação linear
em relação a base
é igual a
.
(b) Indique uma base para a imagem de T. e responda: T é sobrejectiva?
(b) Indique uma base para a imagem de T. e responda: T é sobrejectiva?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
T:R^3toR^3 e informa que, na base
alpha=v1,v2,v3 com
a matriz de
T é
Queremos encontrar uma base de
Im(T) e decidir se
T é sobrejectiva.
Passo 2
As colunas de
[T]alpha^alpha são as coordenadas de
T(vi) em relação a
alpha .
-
.T(v1)=1cdot v1+2cdot v2+0cdot v3 -
.T(v2)=2cdot v1+1cdot v2+0cdot v3 -
.T(v3)=2cdot v1+4cdot v2+2cdot v3
Para ter uma base explícita em coordenadas padrão, calculamos cada imagem:
Passo 3
Verificamos se
T(v1),T(v2),T(v3) é linearmente independente. Como
as colunas são independentes e
dimIm(T)=3 . Logo
Im(T)=R^3 .
Passo 4
Como
Im(T)=R^3 , qualquer base de
R^3 é base de
Im(T) . Em particular,
é uma base de
Im(T) . Além disso,
Im(T)=R^3 implica que
T é sobrejectiva.
Resposta
Uma base para a imagem de
T é
e
T é sobrejectiva.