A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3 é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2).
(b) Indique uma base para a imagem de T. e responda: T é sobrejectiva?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 e informa que, na base alpha=v1,v2,v3 com
v1=(-1,2,3), v2=(1,-2,3), v3=(1,1,-3),
a matriz de T é
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2
Queremos encontrar uma base de Im(T) e decidir se T é sobrejectiva.

Passo 2

As colunas de [T]alpha^alpha são as coordenadas de T(vi) em relação a alpha.
  • T(v1)=1cdot v1+2cdot v2+0cdot v3.
  • T(v2)=2cdot v1+1cdot v2+0cdot v3.
  • T(v3)=2cdot v1+4cdot v2+2cdot v3.
    Para ter uma base explícita em coordenadas padrão, calculamos cada imagem:
T(v1)=v1+2v2=(-1,2,3)+2(1,-2,3)=(1,-2,9),
T(v2)=2v1+v2=2(-1,2,3)+(1,-2,3)=(-1,2,9),
T(v3)=2v1+4v2+2v3 =(-2,4,6)+(4,-8,12)+(2,2,-6)=(4,-2,12)

Passo 3

Verificamos se T(v1),T(v2),T(v3) é linearmente independente. Como
det[T]alpha^alpha =2det1&22&1 =2(1cdot1-2cdot2)=-6neq0,
as colunas são independentes e dimIm(T)=3. Logo Im(T)=R^3.

Passo 4

Como Im(T)=R^3, qualquer base de R^3 é base de Im(T). Em particular,
T(v1),,T(v2),,T(v3) =l(1,-2,9),,(-1,2,9),,(4,-2,12)r
é uma base de Im(T). Além disso, Im(T)=R^3 implica que T é sobrejectiva.

Resposta

Uma base para a imagem de T é
(1,-2,9),;(-1,2,9),;(4,-2,12),
e T é sobrejectiva.

Exercícios relacionados