Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo e uma base da imagem da transformação linear
O conteúdo aqui é entender que o núcleo é o conjunto de vetores que vão em
e que a imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a
.
Passo 2
Para achar
Somando as duas equações obtemos . Substituindo em
vem
.
Passo 3
Como a única solução é
, conclui-se que
O único subespaço de dimensão zero tem base vazia. Logo, uma base de
é o conjunto vazio.
Passo 4
Para achar
podemos olhar para a matriz de
relativamente à base canônica:
As colunas dessa matriz são
e
,
e sabemos que
e sabemos que
Passo 5
Verificamos que
e
são LI porque
.
Isso mostra que geram todo . Portanto
Isso mostra que geram todo
e uma base de {,(1,1),,(1,-1)}).
Resposta
Base de
: conjunto vazio.
Base de :
.
Base de