Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(b) T(x1, x2)=(x1+x2, x1-x2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do núcleo e uma base da imagem da transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x1,x2)=(x1+x2,,x1-x2)
O conteúdo aqui é entender que o núcleo é o conjunto de vetores que vão em (0,0) e que a imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a T.

Passo 2

Para achar
Somando as duas equações obtemos . Substituindo em vem .

Passo 3

Como a única solução é (x1,x2)=(0,0), conclui-se que
ker(T)=(0,0)
O único subespaço de dimensão zero tem base vazia. Logo, uma base de ker(T) é o conjunto vazio.

Passo 4

Para achar Im(T) podemos olhar para a matriz de T relativamente à base canônica:
A = 1 & 11 & -1
As colunas dessa matriz são
v1=(1,1) e v2=(1,-1),
e sabemos que
Im(T)=Spanv1,v2

Passo 5

Verificamos que e são LI porque
.
Isso mostra que geram todo . Portanto
e uma base de {,(1,1),,(1,-1)}).

Resposta

Base de ker(T): conjunto vazio.
Base de Im(T): ,(1,1),,(1,-1).

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