Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, com, definida por T(x, y)=(2 x 3 y, x-y). Determine a matriz [T]beta^alpha quando
(c) alpha=(1,1),(2,1) e beta=(3,2,0),(1,1,2),(1,0,1);

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^2longrightarrowR^3, T(x,y)=(2x,,3y,,x-y)
e pede a matriz de T relativa à base do domínio
alpha=(1,1),(2,1)
e à base do contradomínio
beta=(3,2,0),(1,1,2),(1,0,1).
Para isso, vamos calcular T(v) para cada vetor v de alpha, expressá-los como combinação linear dos vetores de beta e usar esses coeficientes como colunas da matriz.

Passo 2

Primeiro vetor de
Queremos achar tais que
Isto gera o sistema
Da segunda equação .
Na primeira:
Logo e . Portanto

Passo 3

Segundo vetor de
Procuramos tais que
o que dá o sistema
Da segunda .
Na primeira:
Então e . Logo

Passo 4

A matriz de T relativa a alpha,beta tem como colunas os vetores [T(v1)]beta e [T(v2)]beta.

Resposta

[T]beta^alpha = 1 & tfrac65 1 & tfrac35 -2 & -tfrac15

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