Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(g) T(x1, x2)=(2 x1+x2, 4 x1+2 x2, 0).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2to R^3 definida por
T(x1,x2) = (2x1 + x2,;4x1 + 2x2,;0)
O objetivo é encontrar uma base de ker(T) e uma base de Im(T). Para isso, usaremos que ker(T) se obtém resolvendo T(x)=0 e que Im(T) é o espaço gerado pelas colunas da matriz de T.

Passo 2

Para achar
Como a segunda equação é o dobro da primeira, basta
Logo um vetor genérico no núcleo é é

Passo 3

A imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelas colunas da matriz associada a T. Essas colunas são
(2,4,0) e (1,2,0). Observamos que
(1,2,0) = tfrac12,(2,4,0),
portanto ambas são linearly dependentes e
Im(T) = span(2,4,0)
Uma base para Im(T) é
(2,4,0)

Resposta

Base de ker(T): (1,-2)
Base de Im(T): (2,4,0)

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