Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O objetivo é encontrar uma base de
e uma base de
. Para isso, usaremos que
se obtém resolvendo
e que
é o espaço gerado pelas colunas da matriz de
.
Passo 2
Para achar
Como a segunda equação é o dobro da primeira, basta
Logo um vetor genérico no núcleo é é
Passo 3
A imagem de
é o subespaço de
gerado pelas colunas da matriz associada a
. Essas colunas são
e
. Observamos que
portanto ambas são linearly dependentes e
Uma base para
é
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de