A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base canônica é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 3 & 3 2 & 6 & 6 0 & 0 & 5).
(d) Existe algum vetor (a, b, c) in R^3 para o qual a equação T(x, y, z)=(a, b, c) não tem soluçâo?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
M ;=; [T]alpha^alpha ;=;1 & 3 & 3[6pt]2 & 6 & 6[3pt]0 & 0 & 5
A pergunta (d) é se existe algum vetor (a,b,c) para o qual a equação
T(x,y,z) = (a,b,c)
não tenha solução.
O conteúdo que vamos usar é teoria de transformações lineares: para que a equação T(v)=w seja sempre solucionável, T precisa ser sobrejetora, o que em dimensão finita equivale a M ser invertível (isto é, det Mneq0).]

Passo 2

Vamos calcular det M por expansão na primeira linha:
det M = 1cdotdet6 & 60 & 5 ;-;3cdotdet2 & 60 & 5 ;+;3cdotdet2 & 60 & 0
Cada menor vale
det6 & 60 & 5=6cdot5-6cdot0=30, det2 & 60 & 5=2cdot5-6cdot0=10, det2 & 60 & 0=0
Logo
det M = 1cdot30 ;-;3cdot10;+;3cdot0 = 30 - 30 = 0
Como det M=0, a transformação T não é invertível nem sobrejetora, e portanto há vetores no contradomínio que não estão na imagem de T.

Passo 3

Para achar explicitamente quais vetores não têm pré-imagem, escrevemos o sistema
x +3y+3z = a,[4pt] 2x+6y+6z = b,[4pt] 5z = c
Da terceira equação vem
z = c5
Substituindo em x+3y+3z=a obtemos
x+3y = a - 3c5,
e em 2x+6y+6z=b obtemos
2x+6y = b - 6c5
Mas 2x+6y = 2(x+3y), logo temos a condição de consistência
2l(a - 3c5r) = b - 6c5 Longrightarrow 2a = b
Portanto o sistema só é solucionável se, e somente se,
b = 2a ]

Resposta

Sim. A equação T(x,y,z)=(a,b,c) não tem solução sempre que b neq 2a. Em outras palavras, apenas os vetores (a,b,c) com b=2a pertencem à imagem de T.

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