Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede as bases do núcleo e da imagem da transformação linear
O conteúdo envolve representação matricial, espaço coluna (imagem) e solução de sistema homogêneo (núcleo).
Passo 2
Vamos escrever
na base canônica como a multiplicação por uma matriz
. Observando as componentes de
,
pois
As colunas de
são
]
Passo 3
Para achar a base da imagem, verificamos a independência linear entre
c1,c2,c3 . Note que
logo
c3 é combinação de
c1 e
c2 . As colunas
c1 e
c2 são independentes, então
Passo 4
Para achar o núcleo, resolvemos
A segunda equação é redundante. Da terceira vem , obtemos
Portanto
]
Resposta
Base do núcleo:
(-2,1,1)
Base da imagem:(1,2,0),;(1,2,1)
Base da imagem: