Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(c) T(x1, x2, x3)=(x1+x2+x3, 2 x1+2 x2+2 x3, x2-x3).

Passo 1

O enunciado pede as bases do núcleo e da imagem da transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x1,x2,x3) = (x1+x2+x3,;2x1+2x2+2x3,;x2-x3)
O conteúdo envolve representação matricial, espaço coluna (imagem) e solução de sistema homogêneo (núcleo).

Passo 2

Vamos escrever na base canônica como a multiplicação por uma matriz . Observando as componentes de ,
pois
As colunas de são
]

Passo 3

Para achar a base da imagem, verificamos a independência linear entre c1,c2,c3. Note que
c2 + c3 = 1+12+21+(-1) = 240 = 2,c1,
logo c3 é combinação de c1 e c2. As colunas c1 e c2 são independentes, então
Im(T) = spanc1,,c2 = spanl,(1,2,0),,(1,2,1)r

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos
A segunda equação é redundante. Da terceira vem , obtemos
Portanto
]

Resposta

Base do núcleo: (-2,1,1)
Base da imagem: (1,2,0),;(1,2,1)

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