A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base alpha=(-1,1,3),(1,-3,1),(1,1,-3 é igual a [T]alpha^alpha=(ccc-2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1). Determine bases para o Núcleo e a Imagem de T e indique as dimensões desses subespaços.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base alpha=v1,v2,v3 (com v1=(-1,1,3), v2=(1,-3,1), v3=(1,1,-3)) é
A = [T]alpha^alpha = -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1
Precisamos achar uma base e a dimensão de ker T e de Im T. Para isso vamos (1) resolver A,x=0 para o núcleo e (2) determinar o posto de A e extrair vetores geradores da imagem.

Passo 2

Fazendo eliminação de Gauss em A:
A = -2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 longrightarrow 1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 -1 & 1 & 1
longrightarrow 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 2 & 1 longrightarrow 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0
Daí as equações são
x1 + x2 = 0, 2x2 + x3 = 0,
logo x1=-x2 e x3=-2x2. Seja t=x2; então
x = (x1,x2,x3) = (-t,,t,,-2t) = t,(-1,1,-2)
Portanto dimker T = 1 e ker T em coordenadas alpha é gerado por (-1,1,-2).

Passo 3

Para obter um gerador de em coordenadas canônicas, escrevemos
Calculando componente a componente:
Podemos simplificar e escolher

como base de . Assim

Passo 4

O posto de é , então . As colunas-pivô de são as colunas 1 e 2, cujos vetores em coordenadas são
Isso significa
Em coordenadas canônicas já tínhamos
Podemos simplificar esses vetores para uma base mais bonita, por exemplo
e . Logo

Resposta

Base de ker T: (0,3,-2), dimker T=1.
Base de Im T: (1,-3,-1),,(1,-1,-1), dimIm T=2.

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