A matriz da transformação linear
em relação a base
é igual a
. Determine bases para o Núcleo e a Imagem de
T e indique as dimensões desses subespaços.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base
alpha=v1,v2,v3 (com
v1=(-1,1,3) ,
v2=(1,-3,1) ,
v3=(1,1,-3) ) é
Precisamos achar uma base e a dimensão de
ker T e de
Im T . Para isso vamos (1) resolver
A,x=0 para o núcleo e (2) determinar o posto de
A e extrair vetores geradores da imagem.
Passo 2
Fazendo eliminação de Gauss em
A :
Daí as equações são
logo
x1=-x2 e
x3=-2x2 . Seja
t=x2 ; então
Portanto
dimker T = 1 e
ker T em coordenadas
alpha é gerado por
(-1,1,-2) .
Passo 3
Para obter um gerador de
em coordenadas canônicas, escrevemos
Calculando componente a componente:
Podemos simplificar e escolher
como base de . Assim
como base de
Passo 4
O posto de
é
, então
. As colunas-pivô de
são as colunas 1 e 2, cujos vetores em coordenadas
são
Isso significa
Em coordenadas canônicas já tínhamos
Podemos simplificar esses vetores para uma base mais bonita, por exemplo
e
. Logo
Resposta
Base de
ker T :
(0,3,-2) ,
dimker T=1 .
Base deIm T :
(1,-3,-1),,(1,-1,-1) ,
dimIm T=2 .
Base de