Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(f) T: R^2 longrightarrow R^4, com T(x y)=(y, 2 x-y, 3 y-x, x+y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^4, T(x,y) = (,y,;2x - y,;3y - x,;x + y,)
é uma transformação linear. Para isso, usaremos a definição: T deve satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos aditividade. Tomando u=(x1,y1) e v=(x2,y2), calculamos
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(y1+y2,;2(x1+x2)-(y1+y2),;3(y1+y2)-(x1+x2),;(x1+x2)+(y1+y2)r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (y1,,2x1-y1,,3y1-x1,,x1+y1) + (y2,,2x2-y2,,3y2-x2,,x2+y2)
= l(y1+y2,;2(x1+x2)-(y1+y2),;3(y1+y2)-(x1+x2),;(x1+x2)+(y1+y2)r)
Logo, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificamos homogeneidade. Para cinR e u=(x,y),
T(cu) = T(cx,,cy) = l(cy,;2(cx)-(cy),;3(cy)-(cx),;(cx)+(cy)r) = c,(y,,2x-y,,3y-x,,x+y) = c,T(x,y)
Portanto, T(cu)=c,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear.

Resposta

A aplicação T é transformação linear.

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