Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, e alpha uma base de R^2. Determine a expressão de T(x, y) sabendo que
(a) [T]alpha^alpha=(cc1 & -3 0 & 1), com alpha=(-1,3),(1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^2 cujo matrix em relação à base alpha=(-1,3),(1,1) é
[T]alpha^alpha = 1 & -3 0 & 1
Queremos encontrar a fórmula de T(x,y) no sistema de coordenadas canônico. Para isso vamos:
  1. Expressar (x,y) em coordenadas de alpha.
  2. Aplicar o matrix [T]alpha^alpha.
  3. Voltar ao sistema canônico.

Passo 2

Seja
Isso gera o sistema
Da primeira equação (b = x + a]. Substituindo na segunda:

Passo 3

Em coordenadas , . Logo
Isto significa

Passo 4

Substituindo a=tfracy-x4 e b=tfrac3x+y4, temos
a-3b =y-x4-3cdot3x+y4 =y-x-9x-3y4 =-10x-2y4 =-5x+y2,
então
(a-3b),(-1,3) =l(-5x+y2r)(-1,3) =l(5x+y2,-3(5x+y)2r),
e
b,(1,1) =3x+y4(1,1) =l(3x+y4,3x+y4r)
Somando componente a componente:
T(x,y) =l(5x+y2+3x+y4;,; -15x+3y2+3x+y4r)
Colocando sobre o mesmo denominador 4:
T(x,y) =l(10x+2y+3x+y4;,;-30x-6y+3x+y4r) =l(13x+3y4,-27x+5y4r)

Resposta

T(x,y)=l(tfrac13x+3y4,,-tfrac27x+5y4r)

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