Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(d) T(x1, x2, x3)=(x1+2 x2-x3, 2 x1+4 x2-2 x3,-x1-2 x2+x3).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x1,x2,x3) = (x1+2x2 - x3,;2x1+4x2 -2x3,;-x1-2x2 + x3)
Queremos encontrar bases para o núcleo ker(T) e para a imagem Im(T). Vamos usar a matriz de T na base canônica, estudar suas colunas para Im(T) e resolver A x=0 para ker(T).

Passo 2

Tomando a base canônica e1,e2,e3 em R^3, a matriz de T é
A = 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -1 & -2 & 1 ,
cujas colunas são
A e1=(1,2,-1),
A e2=(2,4,-2)=2,(1,2,-1),
A e3=(-1,-2,1)=-1,(1,2,-1)

Passo 3

Como todas as colunas são múltiplos de (1,2,-1), a imagem é um subespaço de dimensão 1 gerado por esse vetor.
Portanto, uma base de Im(T) é
(1,2,-1)

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos A(x1,x2,x3)^T=0. A única equação não redundante é
x1 + 2x2 - x3 = 0
ou seja x1 = -2x2 + x3. Tomando parâmetros livres x2=s e x3=t,
(x1,x2,x3) = (-2s + t,;s,;t) = s,(-2,1,0) + t,(1,0,1)
Logo, ker(T) é gerado pelos vetores (-2,1,0) e (1,0,1).

Resposta

Base de ker(T): (-2,1,0),(1,0,1)
Base de Im(T): (1,2,-1)

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