Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine bases para o núcleo e para a imagem:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar bases para o núcleo
e para a imagem
. Vamos usar a matriz de
na base canônica, estudar suas colunas para
e resolver
para
.
Passo 2
Tomando a base canônica
em
, a matriz de
é
cujas colunas são
A e1=(1,2,-1) ,
A e2=(2,4,-2)=2,(1,2,-1) ,
A e3=(-1,-2,1)=-1,(1,2,-1)
Passo 3
Como todas as colunas são múltiplos de
(1,2,-1) , a imagem é um subespaço de dimensão 1 gerado por esse vetor.
Portanto, uma base deIm(T) é
Portanto, uma base de
Passo 4
Para o núcleo, resolvemos
A(x1,x2,x3)^T=0 . A única equação não redundante é
ou seja
x1 = -2x2 + x3 . Tomando parâmetros livres
x2=s e
x3=t ,
Logo,
ker(T) é gerado pelos vetores
(-2,1,0) e
(1,0,1) .
Resposta
Base de
ker(T) :
(-2,1,0),(1,0,1)
Base deIm(T) :
(1,2,-1)
Base de