Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, e alpha uma base de R^2. Determine a expressão de T(x, y) sabendo que
(b) [T]alpha^alpha=(cc1 & 5 -2 & 3), com alpha=(-1,1),(2,1).

Passo 1

O enunciado pede a forma de T no sistema de coordenadas canônico, sabendo que em relação à base alpha=u1,u2=(-1,1),(2,1) a matriz de T é
[T]alpha^alpha = 1 & 5 -2 & 3
Para resolver, vamos (i) escrever um vetor genérico (x,y) em coordenadas de alpha, (ii) aplicar a matriz de T nessas coordenadas e (iii) voltar ao sistema canônico.

Passo 2

Escrevemos
(x,y)=a,u1 + b,u2 = a(-1,1) + b(2,1)
Isso gera o sistema
-a + 2b = x, ;a + b = y
Resolvendo-o, obtemos
b = x+y3, a = 2y - x3

Passo 3

Em coordenadas de alpha, [v]alpha=binomab e
[T(v)]alpha = 1 & 5 -2 & 3 binomab = binoma+5b-2a+3b
Isso significa
T(v) = (a+5b),u1 +(-2a+3b),u2

Passo 4

Agora escrevemos em coordenadas canônicas usando u1=(-1,1) e u2=(2,1):
T(x,y) =(a+5b)(-1,1)+(-2a+3b)(2,1)
Calculando componente a componente:
Tx = -,(a+5b) + 2(-2a+3b) = -5a + b,
Ty = ;(a+5b) + (-2a+3b) = -a +8b

Passo 5

Substituindo a=2y-x3 e b=x+y3 em l(-5a+b,,-a+8br), temos
Tx = -52y-x3 + x+y3 = -10y+5x + x + y3 = 6x - 9y3 = 2x - 3y,
Ty = -2y-x3 + 8x+y3 = -2y + x +8x +8y3 = 9x +6y3 = 3x + 2y

Resposta

T(x,y) = l(2x - 3y,;3x + 2yr)

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