A matriz da transformação linear
em relação a base
é igual a
.
(a) Determine uma base para o núcleo de T , e responda: T é injectiva?
(a) Determine uma base para o núcleo de T , e responda: T é injectiva?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
T:R^3toR^3 cuja matriz na base
alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3) é
Pede-se uma base do núcleo de
T e se
T é injetiva. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo
[T]alpha^alphax=0 nas coordenadas
x=(x1,x2,x3) .
Passo 2
Escrevendo o sistema
[T]alpha^alphax=0 em forma de equações:
Passo 3
Da terceira equação vem
Substituindo
Da primeira obtemos (x_1=-2x_2]. Na segunda:
Passo 4
A única solução em coordenadas é
(x1,x2,x3)=(0,0,0) . Logo
e a base do núcleo (subespaço trivial) é o conjunto vazio.
Passo 5
Como
ker T=0 , a transformação
T não envia vetores não nulos em zero, portanto é injetiva.
Resposta
Uma base de
ker T é o conjunto vazio (ou seja,
ker T=0 ).
Sim,T é injetiva.
Sim,