A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3 é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2).
(a) Determine uma base para o núcleo de T , e responda: T é injectiva?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3) é
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2
Pede-se uma base do núcleo de T e se T é injetiva. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo [T]alpha^alphax=0 nas coordenadas x=(x1,x2,x3).

Passo 2

Escrevendo o sistema [T]alpha^alphax=0 em forma de equações:
x1 + 2x2 + 2x3 = 0, 2x1 + x2 + 4x3 = 0, 0cdot x1 + 0cdot x2 + 2x3 = 0

Passo 3

Da terceira equação vem
Substituindo
Da primeira obtemos (x_1=-2x_2]. Na segunda:

Passo 4

A única solução em coordenadas é (x1,x2,x3)=(0,0,0). Logo
ker T = 0
e a base do núcleo (subespaço trivial) é o conjunto vazio.

Passo 5

Como ker T=0, a transformação T não envia vetores não nulos em zero, portanto é injetiva.

Resposta

Uma base de ker T é o conjunto vazio (ou seja, ker T=0).
Sim, T é injetiva.

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