A matriz da transformação linear em relação a base é igual a . Determine bases para o Núcleo e a Imagem de T e indique as dimensões desses subespaços.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear T:R^2toR^2 cuja matriz em relação à base alpha=v1=(-1,3),,v2=(1,1) é
[T]alpha^alpha =3 & 32 & 2
Pede-se determinar bases para o núcleo e para a imagem de T e suas dimensões. Vamos usar a interpretação das colunas da matriz como as coordenadas de T(v1) e T(v2) na própria base alpha.
Passo 2
A primeira coluna l(3,2r) nos diz que
T(v1) = 3,v1 + 2,v2,
e a segunda coluna, que é igual à primeira, diz
T(v2) = 3,v1 + 2,v2
Como ambas as imagens coincidem, concluímos que dim(Im,T)=1.
Passo 3
Para achar o núcleo, escrevemos em coordenadas na base :
Logo os vetores do núcleo têm coordenadas , então .
Passo 4
Escolhendo x=1 para obter um vetor não-nulo do núcleo em coordenadas padrão, temos
u = 1cdot v1 -1cdot v2 = (-1,3) - (1,1) = (-2,2)
Portanto uma base do núcleo é (-2,2).
Para a imagem, a coordenada geradora na base alpha é (3,2), que em padrão vale