A matriz da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 em relação a base alpha=(-1,3),(1,1) é igual a [T]alpha^alpha=(ll3 & 3 2 & 2). Determine bases para o Núcleo e a Imagem de T e indique as dimensões desses subespaços.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:R^2toR^2 cuja matriz em relação à base
alpha=v1=(-1,3),,v2=(1,1) é
[T]alpha^alpha =3 & 32 & 2
Pede-se determinar bases para o núcleo e para a imagem de T e suas dimensões. Vamos usar a interpretação das colunas da matriz como as coordenadas de T(v1) e T(v2) na própria base alpha.

Passo 2

A primeira coluna l(3,2r) nos diz que
T(v1) = 3,v1 + 2,v2,
e a segunda coluna, que é igual à primeira, diz
T(v2) = 3,v1 + 2,v2
Como ambas as imagens coincidem, concluímos que dim(Im,T)=1.

Passo 3

Para achar o núcleo, escrevemos em coordenadas na base :
Logo os vetores do núcleo têm coordenadas , então .

Passo 4

Escolhendo x=1 para obter um vetor não-nulo do núcleo em coordenadas padrão, temos
u = 1cdot v1 -1cdot v2 = (-1,3) - (1,1) = (-2,2)
Portanto uma base do núcleo é (-2,2).
Para a imagem, a coordenada geradora na base alpha é (3,2), que em padrão vale
w = 3,v1 + 2,v2 = 3(-1,3) + 2(1,1) = (-3+2,;9+2) = (-1,11)
Logo uma base da imagem é (-1,11).

Resposta

Base do núcleo: (-2,2), dim(ker T)=1.
Base da imagem: (-1,11), dim(Im,T)=1.

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