Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(e) T: R^3 longrightarrow R^2, com T(x, y, z)=(2 y-x, 2 x+y).

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,2y - x,;2x + y,)
Queremos verificar se T é transformação linear, ou seja, se para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar cinR vale
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v) =l(2(y1+y2)-(x1+x2),;2(x1+x2)+(y1+y2)r)
Distribuindo, isso é
(2y1 - x1,;2x1 + y1) + (2y2 - x2,;2x2 + y2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para um escalar c e um vetor u=(x1,y1,z1), temos
c,u = (c,x1,;c,y1,;c,z1),
portanto
T(c,u) =l(2(c,y1)-(c,x1),;2(c,x1)+(c,y1)r) =c,(2y1 - x1,;2x1 + y1) = c,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade de escalares, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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