A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3 é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2).
(c) Resolva a equação T(x, y, z)=(3,3,0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver
T(x,y,z)=(3,3,0)
sendo TcolonR^3toR^3 linear cuja matriz em relação à base
alpha=v1,v2,v3
com
v1=(-1,2,3), v2=(1,-2,3), v3=(1,1,-3)
é
[T]alpha^alpha =1&2&22&1&40&0&2
Para resolver, vamos (i) escrever (x,y,z) em coordenadas de alpha,
(ii) aplicar T via multiplicação pela matriz,
(iii) voltar ao sistema canônico e igualar a (3,3,0).

Passo 2

Seja
Em coordenadas da base temos . Ao aplicar ,
onde

Passo 3

Em coordenadas canônicas,
T(u)=d1v1+d2v2+d3v3 =d1(-1,2,3)+d2(1,-2,3)+d3(1,1,-3)
Somando componentes,
T(u)=l(-d1+d2+d3,;2d1-2d2+d3,;3d1+3d2-3d3r)
Igualamos isso a (3,3,0).

Passo 4

Substituindo
Resolvendo: da segunda equação vem , logo .
Com inserido, o sistema reduz-se a
cuja solução é

Passo 5

Finalmente, voltamos ao canônico:
(x,y,z) =c1v1+c2v2+c3v3 =-tfrac52(-1,2,3)+tfrac12(1,-2,3)+tfrac32(1,1,-3)
Calculando cada componente,
(x,y,z) =l(tfrac92,-tfrac92,-tfrac212r)

Resposta

(x,y,z)=l(tfrac92,-tfrac92,-tfrac212r)

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